直接構造導數定義法求“不定式”極限

曾小華 蔣紅珠

(1.四川師范大學數學科學學院 610068；2.廣東華南師范大學數學科學學院 510631)

一、引言

我國中科院著名的李邦河院士講：“數學根本上是玩概念的，而不是純粹的技巧.”導數的定義在高中數學乃至是大學數學中都具有重要的作用，高中數學教學重視利用導數來研究函數的性質，如單調性、最值、極值等，但是對導數定義的教學是不夠深入的，因此在高考數學中遇到求“不定式”極限時，考生往往難以解決這類問題.接下來，將對不定式極限和導數的定義相關內容作簡單的介紹.

不定式極限簡介若函數f和g滿足：

導數定義簡介設函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是

這就是函數定義在一點處的導數.

二、直接構造導數定義求解“不定式”極限

1.利用導數求不等式成立問題

例1(2017年全國高考數學文科卷Ⅱ第21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)顯然可以使用分離參數法，需要進行分情況討論.

當x=0時，顯然有(1-02)e0≤a·0+1，故不等式恒成立，所以a∈R；

顯然這是一個不定式極限，注意到分式的分母結構，考慮直接構造導數的定義.

令函數n(x)=(1-x2)ex-1，顯然n(0)=0.

直接構造導數的定義，故有

該極限為函數n(x)在x=0處導數的定義，所以

所以a的取值范圍為[1,+).

評注該試題為典型的求不定式極限問題，分母的結構和導數定義中的結構是完全相同的，故考慮直接構造導數的定義.巧令函數n(x)=(1-x2)ex-1，讓分子的結構和分母的結構與導數定義的結構相對應起來，將不定式極限轉化為求導運算.

2.利用導數定義求恒成立中參數問題

例2(2016全國高考數學文科卷Ⅱ第21題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若當x∈(1,+)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)，對x∈(1,+)時，要使得f(x)>0,

即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

由于x∈(1,+)，分離參數，可得

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導數的定義.

令p(x)=(x+1)lnx，顯然有p(1)=0.

所以a的取值范圍為(-∞,2).

評注該試題中巧設函數p(x)=(x+1)lnx，借助p(1)=0，將不定式極限轉化為導數的定義來求解，這種以定義的方式來解決不定式極限的方法，充分體現導數定義的力量.

3.利用導數定義求參數取值范圍問題

所以m(x)在區間x∈(0,+)上單調遞增.

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導數的定義.

設p(x)=(x+1)ln(x+1)，顯然就有p(0)=0.

評注該試題的解決方法相對較為容易，但是其中蘊含了豐富的考點，其一是重要不等式x≥ln(x+1)；其二就是對導數定義的理解，需要理解導數所代表的幾何意義和代數形式，特別是代數結構的對稱性；其三是對函數的選擇，需要充分地考慮分母的結構形式，需要將選擇的函數與分母對應起來，這需要考生具有敏銳的洞察力.

4.利用導數定義求最值問題

(1)求證f(x)≤0；

解析問題(1)解答，略.

由問題(1)可得，函數f(x)=xcosx-sinx≤0.

現在需要求a的最大值與b的最小值.

顯然?為一個不定式極限，故考慮構造導數的定義.令n(x)=sinx，顯然有n(0)=sin0=0.

通過對上述不定式極限試題的分析和解答，可見當所求的極限為不定式極限且分母為一次單項式或者是一次二項式的時候，可以將求不定式的極限值問題轉化為導數的定義來求解.在求解這類型的不定式極限值時，需要注意導數定義的結構和構造的函數結構是否相匹配，只有當分子與分母的結構相匹配時才能使用導數的定義.含有不定式極限問題的試題，多具有高等數學的知識背景，可以通過高等數學中的“洛必達法則”解決，解決方法較為簡單，但在高中數學教學和解題中不建議使用，不然容易讓學生產生惰性思維，不利于學生數學思維的培養，有興趣的可以參看高等數學中求不定式極限的常用策略.