活躍在證明題中的構造局部不等式法

朱小扣

(安徽省無為第三中學城北校區 238300)

筆者發現構造局部不等式在證明競賽題與數學通訊等期刊的征解題中有著重要的作用.本文將從四個角度去構造局部不等式，以期拋磚引玉.

一、利用切線法構造局部不等式

?(2a-1)2≥0 (0

①+②即證.

用切線法可以解決很多題目，如數學通訊問題332：

例2(數學通訊問題332)已知正數x,y,z滿足xy+yz+zx≤3，求證：

同理：

①+②+③得：

令a=xy,b=yz,c=zx，則問題轉化為在a+b+c≤3的條件下，求證：

由切線法得只需證：

?4≥(1+a)(3-a)?(a-1)2≥0.

④+⑤+⑥得：

故原命題得證.

二、利用割線法構造局部不等式

上述例題用割線法可以很快解決.又如數學通訊問題399：

例4(數學通訊399問題)已知△ABC,記BC=a,CA=b,AB=c，求證：

原命題等價于：

下面先證明：

三式相加得：

故原不等式得證.

三、利用均值不等式構造局部不等式

故只需證明：

故原不等式得證.

例6 (數學通訊398問題)已知正數a,b,c滿足a+b+c≤12，求證：abc≤2a+5b+10c.

當且僅當a=5,b=4,c=3時取等號.

即證.

本題證明是筆者采用文[2]中類似的構造方法寫出來的，非常令人不解的是為什么這樣構造局部不等式，原因如下：

先a=5,b=4,c=3時取等號，

此法還可以解決很多類似的題目.

四、利用支撐函數構造局部不等式

例7(數學通訊390問題)已知正數a,b,c,d且滿足abcd=1，求證：

于是，f′(x)單調遞減，而f′(1)=0

易得，當x∈(0,1)時，f′(x)>0,x∈(1,+)時，f′(x)<0.

?f(x)≤f(1)=0,即證①式.

四式相加，即證.

此種方法有別于切線法的“以直代曲”，這是“以曲代曲”.又如：

例8(2004年波蘭奧林匹克)已知正數a,b,c且滿足a2+b2+c2=1，求證：

以下證明：

故①式恒成立.故：

三式相加，即證.

類似地，還可以解決很多不等式競賽題，如：2005年摩爾多瓦競賽題等.

以上闡述了四種構造局部不等式證明試題的方法，正是”花開四朵，各自妖嬈.”

當然，能用構造局部不等式去證明的題目可能遠不止這四種，希望大家能繼續研討升級.