巧用定義突破難題二例

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

眾所周知，解析幾何是利用解析式來研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，亦叫做坐標幾何.簡言之，解析幾何用代數來研究的幾何.既然是幾何，那么它就有圖形特征.因此，除了計算以外，利用圓錐曲線的定義，借助幾何性質解題，也是我們必須高度重視的.

一、直接應用定義解題

數學中的定義是對一個概念的內涵和外延的確切而簡要的說明.因此，定義具有性質定理的功能.當知道圓錐曲線的類型時，我們可以應用定義(式)解題.

例1 (2012年全國高考Ⅱ卷理科第20題) 設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的⊙F交l于B,D兩點.

(2)若A,B,F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m,n距離的比值.

分析本題中圓心和拋物線的焦點重合，因此一些線段具有雙重身份，恰當利用定義可以建立一些關鍵等式，挖掘出一些表象上的未知量，突破難點.

(1)解由對稱性知：△BFD是等腰直角三角形且斜邊BD的高為h=p①，

眾所周知，日語在大量汲取外來詞匯的基礎上形成了自身獨特的語言系統。明治維新以前，以漢字詞為主的外來詞匯大量進入日本，成為了日語的重要組成部分。明治維新以后，日本開始全面接觸西方諸國的新思維與新理念，承載著各種新概念與新事物的新詞也被大量引入日本，以音譯詞為特點的該類詞匯成為了近代以后日語的另一重要組成部分。

(2)解法1因為A,B,F三點在同一直線m上，所以AB為⊙F的直徑，∠ADB=90°.

評注本題在解答過程中反復運用了圓的定義，拋物線的定義，突出了定義的性質定理的功能，巧妙地將二者有機結合在一起，得到了文中①②③④處的方程或值.這是本題的重要突破口，若僅僅依靠運算，解答將陷入困境，無法推進.

二、構造定義形式解題

定義具有判定定理的功能.因此，我們可以構造圓錐曲線的定義式，判斷其類型，在構造中賦予代數式幾何意義，實現等價轉化的目的.

例2 已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，⊙M過點A，B，且與直線x+2=0相切．

(1)若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

(2)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由．

分析若動點M的軌跡是雙曲線或拋物線，由雙曲線和拋物線的定義知，|MA|-|MP|可能是定值.若動點M的軌跡是雙曲線，則A,P應該是定點(焦點)，這不可能，那么動點M的軌跡因該是拋物線，我們可將問題向拋物線轉化.

由①②聯立解得R=2，或R=4.

(2)因為線段AB為⊙M的一條弦，

所以圓心M在線段AB的中垂線上，設點M的坐標為(x,y)，則|OM|2+|OA|2=|MA|2，又因為⊙M與x+2=0相切，所以|MA|=|x+2|，所以x2+y2+4=|x+2|2，整理得y2=4x.

所以圓心M的軌跡是以F(1,0)為焦點，x=-1為準線的拋物線，結合拋物線的定義，|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1(ⅱ).

所以當點P與點F重合，|MA|-|MP|為定值1，即P的坐標為(1,0)，所以存在定點P(1,0)使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值．

評注本題考查了圓和拋物線的定義以及直線與圓的關系，又考查了待定系數法和曲線軌跡方程的求法，屬于難題．(ⅰ)處起到了消元的作用；(ⅱ)處通過構造，賦予目標式幾何意義，正是建立在定義基礎之上，問題才得以突破，純計算會導致一籌莫展.沒有經過訓練，學生難以實現此轉化.

三、解法提煉

定義是數學中最原始的概念，簡單而樸素，因此很容易被學生遺忘.殊不知，有時它卻是解題最有力的工具.運用圓錐曲線的定義解題，通過數形結合，不僅能抓住問題的本質，而且能夠避開繁雜的運算，使問題巧妙得解.要想做到熟練運用定義解題需要注意以下事項：

1.全面準確地掌握定義，包括從文字語言、圖形語言、符號語言的角度，這樣才能把握住運用的時機.

2.定義具有雙重功能，既能作為判定定理，又可以作為性質定理，我們要二者兼顧，融會貫通.

3.高度重視定義之間的區別與聯系，防止張冠李戴，弄巧成拙.

4.注意多個定義聯合應用，同一個量的多重身份往往把問題變得撲朔迷離.

5.培養返璞歸真的意識，在日常學習中多多留意，關鍵的時候定義方可派上用場.

四、牛刀小試