導(dǎo)數(shù)誠可貴 構(gòu)造價更高

白 晨

(安徽省阜陽第一中學(xué) 236000)

一、問題給出

例1(2018年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)二模文科試卷·12)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(x)+2>f′(x)，f(0)=1，則不等式ln[f(x)+2]-ln3>x的解集為( ).

A．(-∞，0) B．(0，+∞) C．(-∞，1) D．(1，+∞)

本題給出了一個抽象函數(shù)及其所滿足的若干條件，進(jìn)而求解一個相應(yīng)的不等式的解集．其實，不等式與等式是緊密相關(guān)的，要求解對應(yīng)的不等式，往往可以與其對應(yīng)的等式有關(guān)，這樣就把相應(yīng)的不等式問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程以及相應(yīng)的函數(shù)問題．而如何通過相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)的挖掘，往往通過直接或間接判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題．

二、通性通法

解法1(構(gòu)造抽象函數(shù)法)

點評解法1通過構(gòu)造抽象函數(shù)，具有一般性，也是解決此類問題的通性通法．而抽象函數(shù)的構(gòu)造，關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)的四則運算和復(fù)合運算法則，使得分散的多個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為集中的單個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，向著有利于判斷函數(shù)單調(diào)性的方向發(fā)展．在構(gòu)造抽象函數(shù)中，有時可以直接構(gòu)造，有時需要變形構(gòu)造，而不管哪類的構(gòu)造抽象函數(shù)，都需要結(jié)合問題的外形結(jié)構(gòu)特征與求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理構(gòu)造．

三、上升層次

解法2(構(gòu)造特殊函數(shù)法)

取特殊函數(shù)f(x)=ex，此函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且滿足f(x)+2>f′(x)，f(0)=1，則由不等式ln[f(x)+2]-ln3>x可得ln(ex+2)-ln3>x，變形得ln(ex+2)>x+ln3=ln(3ex)，即ex+2>3ex，從而可得ex<1，解得x<0.所以不等式ln[f(x)+2]-ln3>x的解集為(-∞，0)，故選擇答案A．

點評解法2通過構(gòu)造特殊函數(shù)，具有局限性，但破解此類小題時更為簡單快捷，也是不錯的方法技巧．而特殊函數(shù)的構(gòu)造，往往選擇常見的基本初等函數(shù)，對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)比較熟悉，只要結(jié)合題目條件“對號入座”選擇對應(yīng)的特殊函數(shù)，再結(jié)合題目條件就可以快速轉(zhuǎn)化與處理．

四、拓廣成類

例2(2018年黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷·16)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(x)>f(x)-1，f(1)=2018，則不等式f(x)>2017ex-1+1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集是____．

解法1(構(gòu)造抽象函數(shù)法)

解法2(構(gòu)造特殊函數(shù)法)

取特殊函數(shù)f(x)=2018ex-1，此函數(shù)滿足f′(x)>f(x)-1，f(1)=2018，則由不等式f(x)>2017ex-1+1可得2018ex-1>2017ex-1+1，變形得ex-1>1，從而可得x-1>0，解得x>1.所以不等式f(x)>2017ex-1+1的解集是(1，+∞).故填答案：(1，+∞)．

在解決有關(guān)導(dǎo)數(shù)問題時，面對一些與抽象函數(shù)、方程、不等式等有關(guān)的問題中，觀察已知條件結(jié)構(gòu)、結(jié)論方向，把條件或結(jié)論與所掌握的導(dǎo)數(shù)知識之間構(gòu)建橋梁，與題目特征相結(jié)合，合理構(gòu)造函數(shù)，巧妙應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，快速正確地把相關(guān)問題加以處理，既是解決此類問題的重要方法，也很好培養(yǎng)與發(fā)展構(gòu)建能力與思維．