例析二體問(wèn)題的折合質(zhì)量解法

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學(xué) 136200)

孤立的二體系統(tǒng)問(wèn)題在高考試題和自主招生試題中比較常見(jiàn)，在解決該類問(wèn)題時(shí)，通過(guò)引入折合質(zhì)量的概念，可將復(fù)雜的二體問(wèn)題變?yōu)閱误w問(wèn)題.本文利用三道題目的分析求解，凸顯出該種方法在解決此類問(wèn)題的巧妙之處.

一、折合質(zhì)量推導(dǎo)

如圖1所示，宇宙中兩顆相距較近的天體均為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用而吸引到一起.設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L.

圖1

雙星m1和m2

ω1=ω2=ω

①

②

r1+r2=L

③

分析m1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

二、應(yīng)用

圖2

例1如圖2所示，一質(zhì)量為mB長(zhǎng)方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為mA的小木塊A，現(xiàn)以地面為參照系，給A和B以方向相反的初速度V1和V2，使A開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，B開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，但最后A剛好沒(méi)有滑離B板.若已知A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求滿足條件的木板至少為多長(zhǎng)？

解析以B為參考系，則滑塊A的折合質(zhì)量為

①

A相對(duì)B的初速度VAB=V1+V2，當(dāng)A相對(duì)B靜止時(shí)在B上相對(duì)滑動(dòng)位移最大.

②

注：本題的常規(guī)解法為相對(duì)運(yùn)動(dòng)或等效完全非彈性碰撞模型，但計(jì)算過(guò)程較上面的解法略復(fù)雜.

圖3

例2如圖3所示，一人手持質(zhì)量為m的小球，乘坐在熱氣球下的吊籃里，氣球、吊籃和人的總質(zhì)量為M，氣球以速度v0勻速上升，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后接到小球.若人手在拋接小球時(shí)相對(duì)吊籃的位置不變，求拋球過(guò)程中人做的功.

解析以M為參考系

①

m相對(duì)M以速度v′豎直上拋

③

④

以地面為參考系，設(shè)拋出重物后M的速度變?yōu)関2，m對(duì)地的拋出速度為(v′+v0)

浮力和重力平衡，系統(tǒng)動(dòng)量守恒：

m(v′+v0)+Mv2=(M+m)v0

人做的功等于系統(tǒng)動(dòng)能增量：

例3 (2015中科大自主招生)兩個(gè)帶點(diǎn)小球所帶電量相等，符號(hào)相反.質(zhì)量分別為m和2m，初始時(shí)刻，它們間距離為d，小球2m靜止.小球m沿著與兩者連線垂直的方向以速度v運(yùn)動(dòng).隨后，它們多次處于相距3d的位置上，求小球所帶的電荷量.

知識(shí)準(zhǔn)備：

解析(1)以2m為參考系，m繞2m轉(zhuǎn)動(dòng)，軌跡為橢圓，2m處于橢圓的焦點(diǎn).m的初始位置距離2m最近為d，距2m最遠(yuǎn)點(diǎn)r滿足：

r≥3d

①

②

設(shè)m運(yùn)動(dòng)到橢圓軌道最遠(yuǎn)點(diǎn)的速度為v′

由角動(dòng)量守恒有：mvd=mv′r

③

對(duì)橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)列能量守恒：

④

(2)兩球多次處于相距3d，故m不能到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn).

⑤

折合質(zhì)量的引入，為兩體碰撞、類碰撞，雙星系統(tǒng)，特殊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題的分析求解提供了一個(gè)明顯便捷的計(jì)算方法，適用范圍廣，但在應(yīng)用的過(guò)程中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的是：折合質(zhì)量的概念僅適用于孤立的兩體系統(tǒng)，即不受外力的系統(tǒng).若系統(tǒng)受外力，本解法將不再使用.