豎直面內變速圓周運動中極值問題的解法

袁 茵

(安徽省碭山中學 235300)

題1 如圖1所示，一個質量為M的人站在稱盤上，人拉著一根長L的輕繩的一端，繩的另一端拴著一個質量為m的鉛球，若讓鉛球在豎直平面內做圓周運動，當運動到最高點A受到繩子的拉力恰好為mg，鉛球可看做質點.問：鉛球在運動過程中，運動到何處，稱盤上的讀數最小值為多少？

解析設鉛球運動到A點時速度為vA，運動到P點時(如圖2所示)稱盤上讀數最小，值為N，其中OP與豎直方向夾角為θ，P點速度設為vP，輕繩對鉛球的拉力為T，在A點，有：

鉛球從A點運動到P，有動能定理得：

在P點，在法向上，由牛頓第二定律，得

稱盤上讀數N=Mg-Tcosθ.

可得N=Mg-4mgcosθ+3mgcos2θ，

在本例題中，秤盤上的讀數最小不是小球運動到最高點的時候，有的同學憑著以往解題的經驗，不假思索，就當成小球運動到最高點的時候去解題，很容易出現錯誤.

題2 如圖3所示，在質量為M的飛輪上固定著一個質量為m的重物，重物到轉軸的距離為r,重物隨電動機一起轉動，為使電動機不從地面跳起，則電動機的飛輪角速度不超過多少？若以上述角速度勻速轉動，電動機對地面最大壓力是多少？

解析如圖4所示，當重物運動到P處電動機對地面的壓力最小，OP與豎直方向的夾角為α.由于重物隨電動機做勻速圓周運動，

有F合=Fn=mω2r，

則電動機對地面的壓力為

N=Mg+mg-mω2rcosα.

由上式可知，當α=0時，即重物到達最高點時，電動機對地面的壓力最小，電動機不從地面跳起的臨界條件為：N=0.

同理可得，當α=π時，即重物運動到最低點時，電動機對地面的壓力最大，最大值為Nmax=2(M+m)g.

在本題中，與題1不同，電動機勻速轉動，重物的速率不變，所以經過推導重物運動到最高點時電動機對地面的壓力最小.

題3如圖5所示，在傾角α=30°的、質量為M的斜面上，有一根長為L=0.8m的細繩，一端固定在O點，另一端系一質量為m=0.2kg的小球，小球沿斜面做圓周運動，在A點繩中的拉力為1N.那么小球運動到哪里，斜面對地面的壓力最小？壓力是多大？

解析如圖6所示，設小球在A點速度為vA，繩中拉力為TA，沿繩有

當小球運動至P點時，斜面對桌面壓力最小，此時

繩與AB的夾角為θ，速度為vP，繩中拉力為TP,沿繩有

從A點運動到P點，有動能定理有

斜面對地面的壓力

本題雖不是豎直平面內的情形，但是屬于類豎直平面內變速圓周運動，分析方法相同，只不過把豎直平面內豎直向下的重力mg等效成了mgsinα，采用類比的方法使得問題簡化.

題4如圖7所示，細線的上端固定，下端系一小球，細線長為l，將小球與細線拉至同一水平位置后從靜止開始釋放，求小球的細線運動到與水平方向成多大角度時，小球獲得最大的豎直分速度(用反三角函數表示，重力加速度為g)

解析設小球質量為m，當細線運動到與水平方向夾角為θ時，小球獲得的速度為v，豎直方向的分速度為vy，如圖8所示：由動能定理，小球從A運動到B，有

又vy=vcosθ，

下面考慮函數f(θ)=sinθ(1-sin2θ)，令sinθ=t,t∈[0,1],

則y=t(1-t2)=t-t3，