三種不同思路推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式

劉 丙

(陜西省西安市鄠邑區(qū)第一中學(xué) 710300)

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，由于引起磁通量變化的原因不同，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的機(jī)理也不同.磁場(chǎng)不動(dòng)，導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)切割磁感線而引起磁通量變化產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)我們稱之為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線是電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一種特例，本文將分別由法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理和能量守恒與轉(zhuǎn)化三個(gè)角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式并深入理解，力爭(zhēng)有效解決動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)相關(guān)問(wèn)題.

一、由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

如圖1所示，平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，導(dǎo)體棒以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)，在Δt時(shí)間內(nèi)，由實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到虛線處.在這個(gè)過(guò)程中磁感應(yīng)強(qiáng)度B是不變的，閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積，即

ΔS=LvΔt

穿過(guò)閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

其中導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab垂直，也與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直.

1.若導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直，但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直，如圖2所示.

在Δt時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒ab由實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到虛線處.在這個(gè)過(guò)程中閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積

ΔS=LvΔt

穿過(guò)閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

可見(jiàn)，若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直，此時(shí)L指的是導(dǎo)體棒在垂直于速度v方向上的投影的有效長(zhǎng)度.

2.若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)線本身垂直，但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B有一個(gè)夾角θ，則可將導(dǎo)體棒速度v沿平行于磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)向分解，如圖3所示.

速度v在垂直于磁場(chǎng)向分v1=vsinθ

速度v在平行于磁場(chǎng)向分v2=vcosθ

其中v2平行于磁場(chǎng)向，導(dǎo)體棒ab不切割磁感線，v2方向不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；

v1方向切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

E=BLv1=BLvsinθ

可見(jiàn)，若導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向與導(dǎo)線本身垂直，但與磁場(chǎng)方向有一個(gè)夾角θ，則可將速度v分解為沿磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)方向；亦可將磁感應(yīng)強(qiáng)度B分解為沿速度方向和垂直于速度方向來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題.

3.對(duì)于導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線運(yùn)動(dòng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLvsinθ，如果v是某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，則E是該時(shí)刻的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；如果v是某一段時(shí)間的平均速度，則E是該段時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).

二、由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生機(jī)理推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

導(dǎo)體在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的本質(zhì)是由于導(dǎo)體中的自由電荷受到洛倫茲力而引起的.

如圖4所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)導(dǎo)體棒AC在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速度v向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線，其中導(dǎo)體棒AC與磁場(chǎng)方向和運(yùn)動(dòng)方向均垂直.由于金屬導(dǎo)體中有自由電子，所以導(dǎo)體棒中的自由電子隨導(dǎo)體棒一起以速度v向右運(yùn)動(dòng).每個(gè)自由電子受到的洛倫茲力為f=evB，洛倫茲力f的方向沿導(dǎo)體棒向上.在洛倫茲力f的作用下，自由電子向上運(yùn)動(dòng)會(huì)積累到導(dǎo)體棒的A端，因而C端出現(xiàn)了凈剩的正電荷.AC兩端出現(xiàn)了沿導(dǎo)體棒向上的靜電場(chǎng)E電，此電場(chǎng)對(duì)自由電子的靜電力沿導(dǎo)體棒向下，如圖5所示.

隨著AC端電荷的積累，靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度E電逐漸增大，當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時(shí)，AC兩端便形成了一個(gè)穩(wěn)定的電勢(shì)差UAC.此時(shí)導(dǎo)體棒相當(dāng)于一個(gè)電源，UAC是電源處于開(kāi)路時(shí)，電源的端電壓，即UAC是此電源的電動(dòng)勢(shì).當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時(shí)

故動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=UAC=BLv

需要說(shuō)明的是，這種情況下洛倫茲力仍然是不做功的.因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)，自由電子受沿導(dǎo)體棒向上的洛倫茲力f會(huì)沿導(dǎo)體棒以速度u向上運(yùn)動(dòng).正是由于自由電子以速度u向上運(yùn)動(dòng)才會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流.由于自由電子以速度u向上運(yùn)動(dòng)，自由電子還會(huì)受到向左的洛倫茲力f′，如圖6所示.

在很短一段時(shí)間Δt內(nèi)，向上的洛倫茲力f對(duì)自由電子做功為：

W1=f(uΔt)=evB(uΔt)

向左的洛倫茲力f′對(duì)自由電子做功為：

W2=-f′(vΔt)=-euB(vΔt)

洛倫茲做的總功W=W1+W2=0

由此可以看出，洛倫茲力仍然是不做功，洛倫茲力只是一個(gè)“搬運(yùn)工”，起傳遞能量的作用.即外力克服f′所做的功，通過(guò)f轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的能量.

三、由能量守恒與轉(zhuǎn)化角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

如圖7所示，平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，導(dǎo)體棒ab以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)，不計(jì)其他電阻.

設(shè)由于導(dǎo)體棒向右勻速運(yùn)動(dòng)，閉合回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，感應(yīng)電流為I.

以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象有，F(xiàn)外=F安

F安=BIL

外力F外做功的功率P=F外v=BILv

閉合電路中的電功率P電=EI

根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化及守恒定律知P=P電即

E=BLv

由此可以看出，發(fā)生電磁感應(yīng)時(shí)往往伴隨著其他物理現(xiàn)象的發(fā)生.當(dāng)閉合回路磁通量發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，而回路中感應(yīng)電流的大小可以由閉合回路的歐姆定律得到.通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中又要受到安培力，這樣就可以把電磁感應(yīng)問(wèn)題、電路問(wèn)題和力學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái).但總體來(lái)看從能量轉(zhuǎn)化與守恒角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)更有利于提高學(xué)生對(duì)綜合問(wèn)題的分析能力.