巧用數軸表示圓與圓的位置關系

武興亮

(江蘇省無錫市青山高級中學 214000)

一、圓與圓的位置關系(幾何法)

設有圓C1與圓C2，半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，從下面的圖可以看出，平面上兩圓的位置關系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓的半徑大小關系來判斷.

(1)當d>r1+r2時，圓C1與圓C2相離；

(2)當d=r1+r2時，圓C1與圓C2外切；

(3)當|r1-r2|

(4)當d=|r1-r2|時，圓C1與圓C2內切;

(5)當d<|r1-r2|時，圓C1與圓C2內含.

二、結合數軸展示圓與圓的位置關系

從上面圓與圓的位置我們發現，圓心距d的值與r1+r2,|r1-r2|的值的大小關系決定了圓與圓的位置關系.首先我們畫一個數軸，設其為d軸，其上有r1+r2和|r1-r2|.根據圓心距d的大小，兩圓的位置關系就可以清晰地在數軸上展現出來(見下圖).

今后在解題過程中，我們只需要算出r1+r2,|r1-r2|這兩個值，然后將其與圓心距d進行比較，結合數軸，就很容易進行判斷了.下面舉幾個例子進行說明，以顯示這種方法的便捷性.

三、題型研究

例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,試判斷圓C1和圓C2的位置關系.

解把圓C1的方程化為標準形式為(x+1)2+(y+4)2=25,C1(-1,-4),半徑r1=5.

由上圖可以看出，圓C1與圓C2相交.

(變式)：已知兩圓C1:x2+y2=1,C2:(x+4)2+(y-a)2=25,若兩圓相交，求實數a的取值范圍.

解因為圓C1:x2+y2=1,圓心坐標為C1(0,0),半徑r1=1.

因為C2:(x+4)2+(y-a)2=25,圓心坐標為C2(-4,a),半徑r2=5.

而r1+r2=6,|r1-r2|=4

例2已知圓x2+y2+m=0與圓x2+y2-6x+8y=0沒有公共點，求實數m的取值范圍.

解因為兩圓沒有公共點，所以他們之間的關系可以由下面數軸看出.

因為x2+y2-6x+8y=0，即(x-3)2+(y+4)2=25，半徑r2=5.

本文通過以上事例展示了在用幾何法判斷圓與圓的位置關系時，結合數軸，會為我們的解題帶來便捷.