例談立體幾何中證明位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

把空間圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，然后用平面幾何的知識去解決，這是立體幾何的永恒的主題.立體幾何中有兩個特殊的位置關(guān)系，即線線、線面、面面的平行與垂直，平行與垂直也是高考的熱點.在判斷或證明位置關(guān)系時關(guān)鍵要理解線線、線面、面面的平行與垂直的內(nèi)在聯(lián)系，平行與垂直的判定和性質(zhì)無一不蘊含了轉(zhuǎn)化思想，下面讓我們走進空間中的平行與垂直關(guān)系一起去感受一下吧.

一、平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

空間中線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化為：

因此，在證明平行有關(guān)問題時，應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法來達到論證的目的.

例1如圖1，平面四邊形ABCD的四個頂點A、B、C、D均在平行四邊形A′B′C′D′所確定一個平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

分析充分利用A′B′C′D′的平行關(guān)系及AA′、BB′、CC′、DD′間的平行關(guān)系，證明出AD∥BC與AB∥CD即可.

證明因為四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，所以A′D′∥B′C′.又因A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.又因為A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，A′D′∩AA′=A′，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因為平面ABCD∩平面AA′D′D=AD，平面ABCD∩平面BB′C′C=BC，所以AD∥BC.同理可證AB∥CD.所以四邊形ABCD是平行四邊形.

點評本題證明過程體現(xiàn)的是線線平行、線面平行、面面平行之間的互相轉(zhuǎn)化，即由A′D′∥B′C′得到A′D′∥平面BB′C′C，實現(xiàn)了由線線平行向線面平行的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用了線面平行的判定定理；由A′D′∥平面BB′C′C與AA′∥平面BB′C′C得到平面AA′D′D∥平面BB′C′C，實現(xiàn)了由線面平行向面面平行的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用了面面平行的判定定理；由平面AA′D′D∥平面BB′C′C得到AD∥BC，實現(xiàn)了由面面平行向線線平行的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用了面面平行的性質(zhì)定理.

二、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化為：

因此，在證明垂直有關(guān)問題時，應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法，每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終到達目的.

例2 已知，如圖2，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

(1)求證：PA⊥BC；

(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

分析(1)需證PA⊥平面ABC，即證PA與平面ABC內(nèi)的兩條相交直線垂直，可由面面垂直來構(gòu)造直線；(2)只需證AB⊥AC，即證AB⊥平面PAC.

證明 (1)如圖2，在平面ABC內(nèi)任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G.因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC.又因為PA?平面PAC，所以DF⊥PA.同理可證DG⊥PA.又因為DG∩DF=D，DG?平面ABC，DF?平面ABC，所以PA⊥平面ABC.又因為BC?平面ABC，所以PA⊥BC.

(2)如圖2，連接BE并延長交PC于點H.因為E為△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又因為AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以PC⊥AE.又因為BH∩AE=E，BH?平面ABE，AE?平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又因為AB?平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又因為AB?平面ABC，所以PA⊥AB.又因為PA∩PC=P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又因為AC?平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.

點評本題是一道線線、線面、面面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了垂直轉(zhuǎn)化，求解本題的關(guān)鍵是用好垂直關(guān)系.

三、平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

空間中線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化為：

因此，在證明平行與垂直有關(guān)問題時，應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法，最終達到解題的目的. (1)由線線平行得到線面垂直的判定方法:如果兩條平行線中一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；(2)由線面垂直得到線線平行的判定方法:垂直于同一平面的兩條直線平行；(3)由線面垂直得到面面平行的判定方法：垂直于同一直線的兩個平面平行；(4)由面面平行得到線面垂直的判定方法：如果兩個平行平面中一個直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線.而線線與面面平行在前面已舉例說明，在此不在贅述.

例3如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF為異面直線A1D與AC的公垂線，求證：EF∥BD1.

分析利用垂直于同一平面的兩條直線平行，只需證EF⊥平面A1C1D與BD1⊥平面A1C1D即可.

證明如圖3，連接A1C1，則四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1.又因為EF⊥AC，所以EF⊥A1C1.又因為EF⊥A1D，A1D∩A1C1=A1，所以EF⊥平面A1C1D.

連接B1D1.因為BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1. 因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以B1D1⊥A1C1.又因為B1D1∩BB1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.又因為BD1?平面BB1D1D，所以A1C1⊥BD1.同理可證BD1⊥DC1.又因為A1C1∩DC1=C1，所以BD1⊥平面A1C1D.所以EF∥BD1.

點評本題是由線面垂直?線線平行，證明本題的關(guān)鍵是EF⊥平面A1C1D與BD1⊥平面A1C1D.由于EF為異面直線A1D與AC的公垂線，這一條件構(gòu)造線面垂直十分有用.

例4 如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分別是C1C,B1C1,C1D1的中點，求證：平面PMN∥平面A1BD.

分析利用垂直于同一直線的兩個平面平行，只需A1C⊥平面PMN，A1C⊥平面A1BD即可.

證明如圖4，連接AC1,AC.因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以四邊形ABCD是正方形.又因為AC和BD是正方形ABCD的對角線，所以AC⊥BD.又因為CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以CC1⊥BD.又因為AC?平面ACC1，CC1?平面ACC1，AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.又因為AC1?平面ACC1，所以AC1⊥BD.同理可證AC1⊥A1B，又因為BD?平面A1BD，A1B?平面A1BD，BD∩A1B=B，所以AC1⊥平面A1BD.同理可證AC1⊥平面PMN，所以平面PMN∥平面A1BD.

點評本題是由線面垂直?面面平行；此題還可以利用平面與平面平行的判定定理來證明，關(guān)鍵是MN∥平面A1BD與PN∥平面A1BD.即用線線平行?線面平行?面面平行.