化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

王宏利

(福建省光澤第一中學(xué) 354100)

高中數(shù)學(xué)試題類型復(fù)雜多變，運用直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等進行化歸，可降低數(shù)學(xué)試題難度，大大提高解題正確率，因此，授課中應(yīng)注重這些化歸方法及其應(yīng)用講解，提高學(xué)生化歸思想應(yīng)用意識，使其掌握這一解答數(shù)學(xué)問題的重要技巧.

一、直接轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用

直接轉(zhuǎn)化法是一種將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為基本公式、基本定理順利求解數(shù)學(xué)問題的方法.為使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用這一化歸方法，一方面，授課中為學(xué)生深入講解基本公式，基本定理，使其既要牢固記憶，又要清楚其來源，積累豐富的基礎(chǔ)知識.另一方面，結(jié)合具體題目，講解直接轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，使學(xué)生體會應(yīng)用過程，掌握應(yīng)用技巧.

二、換元法的應(yīng)用

換元法指通過引入新的變量將分式化為整式、將高次化為低次，簡化解題過程的一種方法.換元法在方程、不等式、函數(shù)等試題中應(yīng)用廣泛.為使學(xué)生掌握該化歸方法，一方面，講解換元常用方法，包括均值換元、三角換元、局部換元等，細致剖析各種換元形式以及應(yīng)注意的問題.另一方面，優(yōu)選經(jīng)典題目，為學(xué)生講解換元法的應(yīng)用，掌握換元技巧，提高解題正確率.

例2已知x、y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為：____.

該題目題干較為簡單，但如不會進行化歸很難解答.認真觀察題干特點，可采用三角換元法進行解答.

三、數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法是通過建立“形”與“數(shù)”之間的相互聯(lián)系，進行巧妙轉(zhuǎn)化，解答數(shù)學(xué)問題的一種回歸方法.數(shù)形結(jié)合法可簡化解題步驟，提高解題效率.為使學(xué)生靈活應(yīng)用該種方法，一方面，講解“形”與“數(shù)”轉(zhuǎn)化的實現(xiàn)途徑.如“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化可采用向量法、構(gòu)建坐標(biāo)系等方法.“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化則主要根據(jù)經(jīng)驗利用函數(shù)以及平面、立體幾何知識繪制對應(yīng)圖形.另一方面，圍繞具體例題，講解數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合法解題的簡便之處，認真學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題.

圖1

四、構(gòu)造法的應(yīng)用

構(gòu)造法指結(jié)合已學(xué)知識以及經(jīng)驗，構(gòu)造一個合適的數(shù)學(xué)模型，將問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.構(gòu)造法對學(xué)生的綜合能力要求較高，為使其靈活應(yīng)用，教學(xué)中，一方面，注重講解常用構(gòu)造法，包括構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)、構(gòu)造向量等，加深學(xué)生對構(gòu)造法的理解，掌握構(gòu)造法精髓.另一方面，結(jié)合具體習(xí)題，鼓勵學(xué)生采用構(gòu)造法求解，并給予學(xué)生相關(guān)指導(dǎo)，樹立應(yīng)用構(gòu)造法解題的自信，提高學(xué)生構(gòu)造法應(yīng)用技巧及應(yīng)用能力.

例4已知等比數(shù)列{an}中a1=2，a8=4，函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

該題目技巧性較強，很多學(xué)生感覺無從下手，因此，授課中引導(dǎo)學(xué)生認真觀察已知條件，提示其使用構(gòu)造法進行求解.事實上，通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=xg(x)而后運用整體代換與數(shù)列性質(zhì)不難求解.

令g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，則f(x)=xg(x)，兩邊求導(dǎo)得到：f′(x)=g(x)+xg′(x)，∴f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8.

又∵{an}為等比數(shù)列，a1=2，a8=4，∴由等比數(shù)列性質(zhì)可得，f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8=(2×4)4=212.正確選項為C.

化歸思想是解答高中數(shù)學(xué)試題的重要思想，涉及的化歸方法較多，其中直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法較為常用.授課中既要注重化歸思想以及常用方法的講解，使學(xué)生儲備豐富的理論知識，又要結(jié)合具體例題，講解化歸方法的應(yīng)用，使其掌握化歸方法應(yīng)用技巧，提高高中數(shù)學(xué)解題能力，為數(shù)學(xué)成績的提高奠定堅實基礎(chǔ).