對一道圓錐曲線試題的探究與思考

陳藝平

(福建省龍海第一中學龍翔路校區 363100)

一、原題再現

(1)過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN,求MN的長度.

(2)MN是橢圓C的短軸，若點P是橢圓C上不與M,N重合的任意一點，直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0),求xE·xF的值.

二、由特殊到一般

例題1第(3)問可改編成：

解由已知得

三、把結論推廣到其它圓錐曲線

解如圖2所示,由探究1可得

結論2 已知圓C:x2+y2=a2(a>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)為圓上關于x軸對稱兩點，P(x0,y0)為圓上異于M,N的任意一點,且直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0),則xE·xF=a2為定值,即xE·xF恒等于半徑的平方.

解如圖3所示,由探究1可得

探究xE·xF是定值嗎？若xE·xF不是定值,xE+xF是定值嗎?

解如圖4所示,容易證xE·xF不是定值,過程略.

結論4 拋物線C:y2=2px(p>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)為拋物線上關于x軸對稱兩點，P(x0,y0)為拋物線上異于M,N的任意一點,且直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0),則xE+xF=0為定值,即xE+xF恒等于0.

四、追根溯源、深入挖掘

通過對本題的探究,啟發我們進一步思考,圓錐曲線的橢圓、雙曲線是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,拋物線是軸對稱圖形,圓錐曲線上兩個關于軸或中心對稱的動點與曲線上任意一點構成的兩直線斜率之積是否也為定值.如果是定值,這個定值是多少？

試題分析(1)由已知可設M(x1,y1),N(-xx,-y1),P(x0,y0),

試題分析(1)由已知可設橢圓長軸兩端點分別為A1(-a,0),A2(a,0).

P1P2為垂直于x軸的動弦,且P1(x0,y0),P2(x0,-y0),則

五、試題鏈接、命題呈現

解析本題顯然是例題2的結論的一個應用,雖然沒有要求學生記住這些二級結論,但同學們若掌握了上述推理過程,就可以通過一般到特殊的解法很自然地得到答案.對于思維好的學生也可以通過特殊值、特殊點代入的方法得到正確答案.