導數破最值 參數巧求解
——2019年全國Ⅲ卷理科第20題

鄧超群

(湖北省襄陽市第三中學 441000)

在解決有關函數的最值問題時，經常采用導數法，結合導數運算、函數的單調性、函數的極值以及端點處的函數值的大小等來綜合處理，最終得以解決有關函數的最值問題，是應用比較廣泛的一類解題方法．而參數取值的確定問題是函數最值中的一類難點，屬于逆向探究題型．解決的基本方法是待定系數法，從逆向思維出發，實現由已知向未知的轉化，轉化過程中通過列表或分類討論，直觀形象，結合最值，問題最終落腳在比較極值與端點值大小上，從而解決問題．

一、真題在線

高考真題(2019·全國Ⅲ卷理·20)已知函數f(x)=2x3-ax2+b．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在區間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．

本題(2)中有關含有參數的函數的最值問題，通過逆向思維法，采用分類討論，在參數a不同取值情況下，結合函數f(x)在對應區間的單調性確定極值，從而比較極值和端點處的函數值的大小，以及題目中對應最小值與最大值的已知量，比較分析來確定相應的參數值問題．從不同的角度分類討論，會有不同破解過程，產生不同的解題方式．

二、一題多解

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)．

若a=0，則f′(x)≥0，即f(x)在(-∞，+∞)單調遞增；

(2)方法1：(官方標答——參數分類討論法)

滿足題設條件的a，b存在．

①當a≤0時，由(1)，知f(x)在[0，1]單調遞增.

所以f(x)在區間[0，1]的最小值為f(0)=b，最大值為f(1)=2-a+b.

此時a，b滿足題設條件當且僅當b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

②當a≥3時，由(1)，知f(x)在[0，1]單調遞減.

所以f(x)在區間[0，1]的最大值為f(0)=b，最小值為f(1)=2-a+b.

此時a，b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

綜上所述，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f(x)在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．

點評借助(1)中函數f(x)的單調性情況，分“a≤0”，“a≥3”以及“0

方法2：(單調區間分類討論法)

滿足題設條件的a，b存在．

此時a，b滿足題設條件當且僅當|f(1)-f(0)|=|2-a|=2，解得a=0或a=4.

則有a=0，b=-1或a=4，b=1.

綜上所述，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f(x)在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．

三、規律總結

破解函數f(x)在閉區間[a，b](a

1.若所給的閉區間[a，b]不含有參數，則只需對函數f(x)求導，并求方程f′(x)=0在區間[a，b]內的根，并計算使導數等于零的根的函數值(可以一個，也可以多個)，把這些函數值與f(a)，f(b)的值進行比較，其中最大的一個值就是最大值，最小的一個值就是最小值．

2.若所給的閉區間[a，b]含有參數，在對函數f(x)求導的基礎上，要通過對參數進行分類討論，判斷函數f(x)在各相應子區間內的單調性，利用單調性所對應的極值以及端點值的比較，從而得到函數f(x)的最值(最小值或最大值).