數(shù)學(xué)分析與概率論的相互關(guān)系

魏育飛

(內(nèi)蒙古河套學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，內(nèi)蒙古 巴彥淖市臨河區(qū) 015000)

1 數(shù)學(xué)分析在概率論中的應(yīng)用作用

1.1 形成公理化體系

具有某種特殊性質(zhì)或者結(jié)構(gòu)的集合均屬于數(shù)學(xué)分析的研究范圍，集合論應(yīng)運(yùn)而生，并成為了數(shù)學(xué)公理化體系形成的基礎(chǔ)[1]。數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常應(yīng)用兩種積分，分別是黎曼積分與勒貝格積分。在處理具有良好性質(zhì)的函數(shù)時(shí)使用黎曼積分可以發(fā)揮出良好的效果，但是如果遇到級(jí)數(shù)、多元函數(shù)或者積分與極限交換次序等復(fù)雜函數(shù)問題時(shí)，就會(huì)遇到較大的困難。后來，勒貝格積分的出現(xiàn)在集合論與測(cè)度論之間形成了有效聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了概率和集合測(cè)度上某些相似性，為概率論的公理化體系形成奠定了基礎(chǔ)[2]。

1.2 傅立葉變換與特征函數(shù)

數(shù)學(xué)分析中常常使用的解題工具就是傅立葉變換，主要包括傅立葉積分和傅立葉級(jí)數(shù)等相關(guān)內(nèi)容。將傅立葉變換引入到密度函數(shù)或者分布函數(shù)中即可得到“特征函數(shù)”。數(shù)學(xué)分析中提到的定理為F1、F2作為兩個(gè)具有界變差的函數(shù)，F(xiàn)是兩者的卷積，g、g1、g2分別為F、F1、F2的傅立葉---斯蒂爾吉斯變換，則可以得到如下等式：g(λ)=g1(λ)·g2(λ)[3]，即兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立特征函數(shù)的積，使用公式表達(dá)則可以得到ФX+ Y= ФX(t)·ФY(t)，其中X和Y是兩個(gè)彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量，該方法的使用在很大程度上降低了隨機(jī)變量函數(shù)的難度。

1.3 隨機(jī)變量與分布函數(shù)

將數(shù)學(xué)分析運(yùn)用到概率論中可以將很多問題進(jìn)行簡(jiǎn)化。分布函數(shù)和隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)分析中涉及到的兩個(gè)函數(shù)概念，分別代表了實(shí)函數(shù)和集函數(shù)。如果函數(shù)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，則可以按集合和實(shí)數(shù)的順序轉(zhuǎn)換隨機(jī)事件，最后將集合函數(shù)替換為實(shí)函數(shù)。另外，通過從函數(shù)的角度測(cè)量分布函數(shù)，可以找到函數(shù)的可積、可導(dǎo)和單調(diào)有界性質(zhì)。該函數(shù)的特殊屬性在許多數(shù)學(xué)問題的分析和計(jì)算中具有實(shí)際應(yīng)用。

1.4 中心極限定理與大數(shù)定律

概率論主要研究的問題是中心極限定理與大數(shù)定律，它們也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的理論基礎(chǔ)。兩者都涉及隨機(jī)變量序列的極限，并且與數(shù)學(xué)分析中提到的序列極限和函數(shù)序列的極限具有極大的相似性和相關(guān)性。為此，將數(shù)學(xué)分析中相同數(shù)量級(jí)的方法可以應(yīng)用于與中心極限定理和大數(shù)定律有關(guān)的問題。

2 概率論方法在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

2.1 數(shù)學(xué)期望在不等式問題中的應(yīng)用

概率論在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用是比較常見的，例如，如果使用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析方法解決不等式問題，解題過程是相對(duì)復(fù)雜的，如果將數(shù)學(xué)期望引入到不等式解題過程中，則可以簡(jiǎn)化不等式的解題過程。數(shù)學(xué)期望主要有3個(gè)性質(zhì)：第一，如果使用ζ描述隨機(jī)變量，對(duì)于存在的Eζ2而言，可以獲得不等式(Eζ)2≤Eζ2；第二，如果數(shù)學(xué)隨機(jī)變量為ζ和η，則會(huì)存在Eζ2和Eη2，從而可以得到不等式[E(ζη)]2≤Eζ2·Eη2；第三，如果選擇兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ζ和η，存在EζH和Eη，則可以得到不等式2Eζ·Eη≤Eζ2·Eη2[4]。

例如：區(qū)間[a,b]上兩個(gè)函數(shù)f(x)與Ф(x)均為可積函數(shù)，Ф(x)>0，證明

證明：如果隨機(jī)變量ζ的概率密度函數(shù)是

(2)p(x)= 0，其他；

η=f(ζ)為隨機(jī)變量ζ的函數(shù)，可以得到：

由不等式(Eζ)2≤Eζ2可得結(jié)果：

2.2 中心極限定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

如果直接使用數(shù)學(xué)分析的方法去解決一些相對(duì)復(fù)雜的極限問題，通常情況下是很難快速進(jìn)行求解的。而運(yùn)用概率論中的中心極限定理，就可以使復(fù)雜的極限問題變得容易解決[5]。中心極限定理加強(qiáng)了概率論與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)分析中進(jìn)行極限值求解時(shí)，如果t>0，可以對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行設(shè)定，例如ζ1、ζ2、ζ3……ζn。以上變量均服從p(t)函數(shù)。在中心極限定理下，可對(duì)t的值進(jìn)行分區(qū)限制，即t=1，t>1,0

2.3 隨機(jī)變量函數(shù)在數(shù)學(xué)分析積分中的應(yīng)用

2.4 其他方面的應(yīng)用

概率論在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用范圍是十分廣泛的，除了上述提到的數(shù)學(xué)期望、中心極限定理以及隨機(jī)變量函數(shù)以外，還有很多實(shí)際應(yīng)用方面。例如，解決一些運(yùn)用數(shù)學(xué)分析“積不出來”的問題，均可以使用概率密度函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將原有的積分函數(shù)轉(zhuǎn)化成密度函數(shù)，借助隨機(jī)變量函數(shù)進(jìn)行求解，打破了數(shù)學(xué)分析求解過程的局限性。總之，將概率論相關(guān)的定理、函數(shù)等應(yīng)用到數(shù)學(xué)分析的解題過程中，可以解決一些確定的數(shù)學(xué)問題，再加上概率論自身就是用來解決隨機(jī)的數(shù)學(xué)問題，使得概率論具備了同時(shí)解決確定問題和隨機(jī)問題的特殊性質(zhì)，成為了一門相對(duì)特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科。

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)分析與概率論存在著彼此滲透、互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系。數(shù)學(xué)分析是概率論研究與發(fā)展的基礎(chǔ)保障，反之，概率論合理地應(yīng)用到數(shù)學(xué)分析中也促進(jìn)了數(shù)學(xué)分析的進(jìn)一步發(fā)展，在很大程度上簡(jiǎn)化了部分?jǐn)?shù)學(xué)分析問題的解題過程，提高了數(shù)學(xué)分析的解題效率。數(shù)學(xué)分析對(duì)概率論的影響主要體現(xiàn)在傅立葉變換、特征函數(shù)、公理化體系、中心極限定理和大數(shù)定律。而概率論對(duì)數(shù)學(xué)分析的影響則體現(xiàn)在數(shù)學(xué)期望、中心極限定理和隨機(jī)變量函數(shù)的具體應(yīng)用。兩者的有機(jī)結(jié)合，在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題上發(fā)揮著重要的作用。