兩類16p階群的三度正規Cayley圖的比較

董留栓

(中原工學院信息商務學院，鄭州 450002)

0 引言

本研究所給的圖均是有限、簡單及無向連通圖，對于給定圖X，用V(X)表示它的頂點集，用E(X) 表示它的邊集，用Aut(X)表示它的全自同構群。Xi(v)表示與點v距離為i的點集。給定有限群G，設S為G的不包含單位元1的子集，定義G關于S的Cayley圖為Cay(G,S)，其中V(X)=G，E(X)={(g,sg)|g∈G,s∈S}，若S-1=S，Cay(G,S)看做G關于子集S的Cayley無向圖，如果G關于子集S的Cayley圖是正規的，則稱群G有正規Cayley圖。

由于同構的圖可以是不同群的cayley圖，本研究對兩種不同群的cayley圖進行比較，得出它們群的正規cayley圖同構的結論。

定理1.1：設Cay(G1,S1)是16p階群G1的關于子集S1的3度Cayley圖，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉，S1={a,a-1,b};Cay(G2,S2)是16p階群G2的關于子集S2的3度Cayley圖，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}，其中p為奇素數。則Cay(G1,S1)?Cay(G2,S2)。

1 預備知識

本研究將用到以下兩個命題：

命題2.1([2])：設X=Cay(G,S),A=Aut(X)，那么X是正規的。當且僅當A1=Aut(G,S)，其中A1為1的穩定子，Aut(G,S)={α∈Aut(G)|Sα=S}。

命題2.2([3])：設X=Cay(G,S)，是群G關于子集S的Cayley圖,X是正規的,若以下條件成立：

(1)?φ∈A1,φ|S=1S,則有φ|S2=1S2,即φ=1G。

(2)?φ∈A1,則存在σ∈Aut(G),使得φ|S=σ|S。

要考慮16p階群G1的3度Cayley圖的正規性,首先考慮群G1的生成子集S在自同構AutG1下的軌道。

引理2.2：設群G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p為奇素數。S為G1中不包含單位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G1，則S在AutG1下的軌道只有一個，其代表元為S1={a,a-1,b}。

證明：類似于參考文獻[4]中引理2.2的證明。

引理2.3[5]：設群G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,p為奇素數，S為G2中不包含單位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G2，則S在AutG2下的軌道有兩個，其代表元分別為S2={a,a-1,b}、S3={a4p+1b，ab,b}。

2 主要結果證明

引理3.1：設Cay{G1,S1}是群G1關于子集S1的Cayley圖，G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p為奇素數，S1={a,a-1,b}則Cay{G1,S1}是G1的正規Cayley圖，且A1?Z2。

證明：

(1)首先證明?φ∈A1，且φ|S1=1|S1，則有φ=1。

?φ∈A1，且φ|S1=1|S1，則φ固定點a,a-1,b及其鄰域{1,a2,a4p+1b},{1,a-2,a4p-1b},{1,ab,a-1b}。如圖1所示，因為過點1,a-1和b有唯一的6-圈(1,a-1,a-2,a-2b,a-1b,b,1)，故φ固定該6-圈，故φ固定點a-2,a-1b。又φ固定集合{a-2,a4p-1b}和{ab,a-1b}，所以φ也分別固定a4p-1b和ab。同理可得，φ逐點固定點a2和a4p+1b，此時φ|X2(1)=1。由Cayley圖的點傳遞性和連通性知φ=1。

圖1 Cay(G1,{a,a-1,b})的鄰域子圖Fig.1 Neighborhood of Cay(G1,{a,a-1,b})

(2)其次證明對φ∈A1，?σ∈AutG，使得φ|S1=σ|S1，即A1?Z2。

圖2 Cay(G2,{a,a-1,b})的鄰域子圖Fig.2 Neighborhood of Cay(G2,{a,a-1,b})

綜合(1)(2)，由命題2.2知，X=Cay{G1,S1}是正規Cayley圖，且A1?Z2。引理3.2[6]設Cay{G2,S2}是群G2關于子集S2的Cayley圖，G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉，p為奇素數，S2={a,a-1,b}則Cay{G2,S2}是G2的正規Cayley圖，且A1?Z2。

引理3.3：設Cay(G1,S1)是16p階群G1的關于子集S1的3度Cayley圖，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,S1={a,a-1,b}；Cay(G2,S2)是16p階群G2的關于子集S2的3度Cayley圖，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}

其中p為奇素數。則Cay(G1,S1)?Cay(G2,S2)。

證明：

故Cay{G1,S1}?Cay{G2,S2}。