圖形旋轉(zhuǎn)之妙用

文馬 嬌 孫曉峰

（作者單位：江蘇省無錫市陽(yáng)山中學(xué)）

同學(xué)們，大千世界，運(yùn)動(dòng)變化可以說無處不在，運(yùn)動(dòng)與我們緊密相連。在數(shù)學(xué)世界里圖形的運(yùn)動(dòng)為我們解決問題帶來很多便捷，也增添了不少樂趣。利用平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，我們的答題能更加簡(jiǎn)單。

下面讓我們一起走進(jìn)圖形的旋轉(zhuǎn)，領(lǐng)略其巧妙之處。

例1如圖1，已知正方形ABCD，E、F 分別是CD、BC 上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，則線段BF、DE、EF之間的關(guān)系式是__________。

圖1

圖2

圖3

【解析】基于對(duì)全等知識(shí)的研究和運(yùn)用，一部分同學(xué)會(huì)立馬想到在△AEF 中構(gòu)造與△ADE 或△ABF 全等的△AEH 或△AFH（如圖2），但發(fā)現(xiàn)不管是在EF 上作EH=ED，還是作∠DAE=∠HAE，或是作AH⊥EF，要證明三角形全等，都只具有兩個(gè)條件，因此利用分割證全等得不出答案。

我們?cè)賮砘仡櫼幌骂}目條件，看看能否得出什么信息。不難發(fā)現(xiàn)AB=AD，∠DAB=90°=2∠EAF=∠D=∠ABC，得到∠DAE+∠BAF=∠EAF=45°。我們要解決BF、DE、EF 三者間的關(guān)系，可以將短線段合理變換，把BF 放到直線DC 上，再證明全等，于是旋轉(zhuǎn)自然就巧妙構(gòu)建出來了。將△ABF 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，如圖3，證明△AEF 與△AEG全等，即可說明BF、DE、EF 三者關(guān)系為EF=BF+DE。需要提醒的是：由旋轉(zhuǎn)形成的圖形，在進(jìn)行推理說明時(shí)，一定要說明E、D、G三點(diǎn)在一條直線上。為避免證明三點(diǎn)共線，我們可以延長(zhǎng)ED 到G，使GD=BF，然后兩次證明全等即可。同學(xué)們閱讀完后，不妨自己動(dòng)手寫寫看。

例2如圖4，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC 于E，若線段AE=5，則

圖4

圖5

【解析】受前例啟發(fā)的同學(xué)，估計(jì)很快想到捷徑——巧妙構(gòu)建旋轉(zhuǎn)（如圖5），把△ABE繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到正方形AECF，則四邊形ABCD 的面積即為正方形AECF 的面積，結(jié)果為AE2=25。利用旋轉(zhuǎn)將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化成特殊四邊形，利用特殊四邊形面積公式進(jìn)行計(jì)算，簡(jiǎn)單直觀。

講到這里，不知大家有沒有產(chǎn)生疑惑，為什么以上兩題都可以用旋轉(zhuǎn)？?jī)蓚€(gè)問題有什么共性的本質(zhì)可以遵循呢？

感悟：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)——旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形，旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。例1、例2 的共同特征是在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩條相等線段，條件里四邊形的相對(duì)內(nèi)角和為180°，即等線段、等角。

例3如圖6，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M 為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E 為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME 的最小值為

圖6

圖7

圖8

【解析】剛讀完題后，從題目條件觀察思考是不是找不到解決的方法？我們?cè)俅巫x題，條件中得不到解題信息，那不妨從問題處著手突破。要求三線段和的最小值，聯(lián)想到求兩線段和的最值方法，只需要將現(xiàn)在的共點(diǎn)三線轉(zhuǎn)化成三折線，而且三折線在兩個(gè)頂點(diǎn)之間，因此應(yīng)進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換。

如圖7，我們將△AMD 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，MD=M′D′，易得到△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM=MM′，可得MA+MD+ME=D′M′+MM′+ME，即D′、M′、M、E 四點(diǎn)共線時(shí)最短。由于點(diǎn)E 為動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)D′E⊥BC時(shí)，D′M′+MM′+ME 最短，如圖8，求得

感悟：本題特征是共點(diǎn)三線，利用旋轉(zhuǎn)60°得到等邊三角形，形成等線段，巧妙地轉(zhuǎn)化成熟悉的模型。這就是旋轉(zhuǎn)之奧秘。

閱讀完三例，我們可以感受到數(shù)學(xué)中的無窮樂趣，旋轉(zhuǎn)應(yīng)用之巧妙。聰明的你，不妨動(dòng)手試一下：

如圖9，在四邊形ABCD 中，∠B=60°,∠D=30°，AB=BC，AB=1，連接BD，探究AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由。

圖9