無處不在的轉化

文宮 樂 李 巖

（作者單位：安徽省合肥一六八玫瑰園學校教育集團）

一、形到形的轉化

例1（2019·浙江寧波）如圖1，矩形EFGH 的 頂 點E、G 分別在菱形ABCD 的邊AD、BC 上，頂點F、H 在菱形ABCD 的對角線BD上。

（1）求證：BG=DE；

（2）若E 為AD 中 點，FH=2，求 菱 形ABCD的周長。

圖1

圖2

【分析】求證線段相等，最常用的方法是證明三角形全等，結合矩形、菱形的性質容易找到全等的三角形。（1）可以將四邊形的問題轉化為三角形的問題。（2）中要求菱形的周長，可先轉化為求菱形的邊長AB，結合條件FH 已知，容易想到連接矩形EFGH的另一條對角線EG，通過證明四邊形ABGE是平行四邊形，將求菱形的邊長轉化為求矩形對角線的長。

解：（1）根據矩形的性質得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據菱形的性質得到AD∥BC，則∠GBF=∠EDH，可得△BGF≌△DEH（AAS），根據三角形全等的性質即可得到結論。

（2）如圖2，連接EG，根據菱形的性質得到AD=BC，AD∥BC，結合（1）中的結論，證得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE 是平行四邊形，得到AB=EG，進而易得結論。

【點評】四邊形的問題，經常是通過添加輔助線，將之轉化為三角形的問題。例如，在新課的學習中，通過連接對角線，把平行四邊形分割成兩個全等的三角形，由全等三角形的性質得出平行四邊形的性質。反之，在探究三角形的中位線時，是通過構造出平行四邊形，利用平行四邊形的性質得出三角形的中位線定理。把未知的圖形轉化為已知的圖形，用已經掌握的知識來解決新問題，是分析、解決問題的基本策略。

二、形到數的轉化

例2（2019·黑龍江哈爾濱）已知：在矩形ABCD 中，BD 是對角線，AE⊥BD 于點E，CF⊥BD于點F。

（1）如圖3，求證：AE=CF；

（2）如圖4，當∠ADB=30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖4 中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的。

圖3

圖4

【分析】要找面積=矩形面積的三角形，可根據矩形的性質、含30°角的直角三角形直角邊和斜邊特殊的數量關系以及三角形面積的計算方法，將三角形的面積轉化為×矩形長×矩形寬。

解：（1）由“AAS”證明△ABE≌△CDF，即可得出結論。

（2）由平行線的性質得出∠CBD=∠ADB=30°，由直角三角形的性質得出，，得出△ABE 的面積。再由全等三角形的性質得出△CDF 的面積=。△BEC 的面積，同理：△ADF的面積

數學的精華在于可以把問題不斷地進行轉化，把復雜的問題轉化為較簡單的問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，但要注意的是，轉化是形變、量變，其本質是不變的，一旦轉化造成了制約條件的變化，一定要及時進行檢驗。總而言之，轉化思想是一切數學思想方法的核心，從某種程度上來說是數學解題的通法，任何問題都可以借鑒這種方法進行思考和解決。希望同學們在今后的學習中多加思考和嘗試。