知其然知其所以然知其所以必然

朱錦云

工作將近二十年，一直是大循環(huán)教學(xué)，總覺得自己對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)已然了熟于胸。可讀完郜舒竹先生的《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》之后，我開始陷入沉思。知其然，更應(yīng)知其所以然，知其所以必然。這本書講述了許許多多被我們所忽略的“所以然”。正如郜先生所說，“所以然”的知識(shí)往往具有歷史性、貫通性、綜合性和人文性，是前人大師長(zhǎng)期以來的結(jié)晶，是學(xué)生難以利用生活經(jīng)驗(yàn)通過自主或合作的方式探究出來的，是需要教師通過努力學(xué)習(xí)和研究并潛移默化地傳輸給學(xué)生的。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)研究?jī)H限于“如何教”和“如何學(xué)”這樣的問題是不夠的，還應(yīng)重視“教什么”和“學(xué)什么”的研究，特別是對(duì)“所以然”知識(shí)的研究。

一、“所以然”之一：追根溯源，關(guān)注本質(zhì)

知識(shí)感悟：追根溯源是一種刨根究底的學(xué)習(xí)方法，是探索知識(shí)的精神。追根溯源應(yīng)從小學(xué)數(shù)學(xué)起始型概念知識(shí)入手，這是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，也是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)技能的基礎(chǔ)，在小學(xué)階段占據(jù)重要的地位。作為教師，我們應(yīng)該弄清楚每一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，以及概念之間的關(guān)系，不同的知識(shí)采取不一樣的方式，讓學(xué)生“知其所以然”。規(guī)律性知識(shí)，可以讓孩學(xué)生經(jīng)歷自主創(chuàng)造的過程，從而感悟到“知識(shí)是因需要而產(chǎn)生的”;規(guī)定性知識(shí)，則通過接收性方式，讓學(xué)生明白這些規(guī)定的歷史隨機(jī)性和規(guī)定的合理性，要領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)課程中“人為規(guī)定”的思想性。

比如加法的結(jié)果為什么叫做“和”，為什么不是“合”？乘法中的“乘”究竟是什么意思？除法的結(jié)果叫做“商”，為什么？“二分之一”究竟是什么意思？為什么叫做“小數(shù)”，小數(shù)是很小的數(shù)嗎？“正比例”和“反比例”中的正和反是什么意思？“0”為什么不能做除數(shù)？為什么“1”既不是質(zhì)數(shù)也是合數(shù)？余數(shù)為什么要比除數(shù)小？郜教授每一個(gè)問題的闡述，每一個(gè)思想的提出，都是他對(duì)于問題本源的追問。

案例解析：曾經(jīng)聽過本校老師的一節(jié)《加法交換律》的課，課堂開始，教師播放動(dòng)畫，動(dòng)畫講述了“朝三暮四”這個(gè)成語故事。孩子們哄堂大笑，幾乎秒懂，其實(shí)桃子的總個(gè)數(shù)一樣。于是，老師板書“3+4=4+3”，并告知“這就是加法的交換律！”細(xì)想一下，這樣的結(jié)果還是計(jì)算出來的。因?yàn)?+4=7，4+3=7，所以，3+4=4+3。即只能說明交換兩個(gè)數(shù)的次序后，都等于7。

基于《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》給我的啟示，嘗試將該環(huán)節(jié)這樣修改：關(guān)注“本源”---數(shù)數(shù) ，“數(shù)，起源于數(shù)”。 我們不妨回憶一下，幼兒園時(shí)爸爸媽媽是如何教孩子數(shù)物體的個(gè)數(shù)的，就拿 “掰手指”為例，1、2、3、4、5，當(dāng)5個(gè)手指頭數(shù)結(jié)束時(shí)，另一只手從第6個(gè)數(shù)繼續(xù)開始，6、7、8、9、10，這樣就得出有10個(gè)手指頭的結(jié)論。再后來我們學(xué)習(xí)加法算式時(shí)，求一共有多少個(gè)？是不是也是引導(dǎo)孩子先將兩堆物品合并起來，接著數(shù)？想想我們何不在“朝三暮四”這個(gè)情景后再加上數(shù)數(shù)的方法來理解呢？先在3個(gè)后面接著數(shù)4個(gè)，就是7個(gè)桃;在4個(gè)后面接著數(shù)3個(gè)，也是7個(gè)桃。雖然這個(gè)過程看似簡(jiǎn)單，恰恰從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上解釋了加法交換率。計(jì)算得出3+4=7，4+3=7，數(shù)數(shù)也同樣可以，這樣添加還可以調(diào)動(dòng)孩子多種感官參與。

當(dāng)然，后面要學(xué)習(xí)的《乘法結(jié)合律》也可以追溯其本質(zhì)，用數(shù)與算、數(shù)與形相結(jié)合的方法讓孩子體驗(yàn)算理的推導(dǎo)過程，合理的“數(shù)學(xué)”經(jīng)歷，不僅知道，更知道為什么。數(shù)學(xué)課程中看似“人為規(guī)定”的內(nèi)容，蘊(yùn)含著豐富的思想。挖掘這樣的規(guī)定性內(nèi)容， 并融入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)規(guī)定的深刻、豐富、博大與深邃……

二、“所以然”之二：深入分析，提高認(rèn)識(shí)

讀書感悟：也許就在某個(gè)瞬間，你會(huì)推翻自己多年來引以為傲的想法;也許就在某個(gè)不經(jīng)意間，你的思想已經(jīng)在悄然地生長(zhǎng)。在這漫長(zhǎng)的“寒假”里，和《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》為伴的日子里，感覺時(shí)時(shí)刻刻都在不斷更新、提高自己的認(rèn)識(shí)。

“用運(yùn)動(dòng)的眼光看世界”讓我有更多、更深的感觸。在此之前，我知道把線看作“點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的軌跡，同樣運(yùn)動(dòng)“線”留下的痕跡成為“面”，立體圖形則表現(xiàn)為運(yùn)動(dòng)的“面”所留下的痕跡。但從未去深入分析，他們之間還有哪些共性、線段長(zhǎng)度、面積大小以及所占空間大小之間的聯(lián)系。

看完第七章后，我知道了：半徑為r的圓，圓內(nèi)部畫出許多同心圓。最外圍的大圓周長(zhǎng)是2πr。想象將圓面從某處剪開，然后逐步展開并拉直，當(dāng)所有同心圓的圓周都拉直后，就會(huì)形成一個(gè)三角形。

這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)度就是大圓周長(zhǎng)2πr，高就是大圓底面上的半徑r，利用三角形面積公式：底×高÷2，得到面積2πr×r÷2=πr2，恰好與圓面積公式一致。

我還知道了：矩形和平行四邊形面積都可以看成，通過平移運(yùn)動(dòng)在某個(gè)方向離開軌跡的直線度留下的軌跡，其面積都是運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度與運(yùn)動(dòng)距離的乘積。

梯形和三角形可以看作長(zhǎng)度均勻變化的線段沿著一個(gè)確定方向平移運(yùn)動(dòng)留下的軌跡，其面積等于運(yùn)動(dòng)線段起始位置的長(zhǎng)度與終止位置的平均值與移動(dòng)距離的乘積。

“線動(dòng)成面”，其面積公式可以認(rèn)為是“線的長(zhǎng)度”與“運(yùn)動(dòng)距離”的乘積。那么，“面動(dòng)成體”體積公式可以認(rèn)為是“面的大小”與“運(yùn)動(dòng)距離”的乘積。很顯然，長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的體積公式都可以解釋。可是，圓錐體積公式又為何是等底等高圓柱體積的三分之一？原來，有時(shí)候直觀與經(jīng)驗(yàn)是不可靠的。就如相對(duì)論，牛頓的經(jīng)典物理學(xué)在速度不快的地方很適用，但當(dāng)速度特別快的更廣大的宇宙空間，有的公式就不適用。經(jīng)歷這些過程，可能就是課標(biāo)所提出的讓孩子積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本數(shù)學(xué)思想的意思吧。總之，我不僅懂得了微積分的“積分種值定理”，還知道了“旋轉(zhuǎn)體的體積的大小由旋轉(zhuǎn)面的面積和旋轉(zhuǎn)面重心到旋轉(zhuǎn)軸的距離這兩個(gè)因素決定。”……

疫情結(jié)束之后，我們六年級(jí)的新課教學(xué)也已經(jīng)結(jié)束。那么，復(fù)習(xí)期間我是不是就可以抓住最初的本源這根線頭，帶領(lǐng)孩子們一起去討論、探究知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別。也許我們所要做的不是去逐個(gè)擊破，而只要拎緊主線，把孩子放出去，自己找尋、補(bǔ)充知識(shí)結(jié)構(gòu)。當(dāng)他找不到方向的時(shí)候，回過頭來，發(fā)現(xiàn)老師一直在那個(gè)源頭處等他們，給他們適當(dāng)?shù)奶嵝押脱a(bǔ)充，重新出發(fā)，這也許是比較理想的境界。但是我覺得可以。在學(xué)習(xí)《圓的面積計(jì)算》時(shí)，我是不是可以將它與三角形的聯(lián)系圖出示，帶給他們與我一樣的思維和視覺沖擊？

不管怎樣，我開始反思自己的課堂，反思之前的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的可取與摒棄之處。于是，一種與時(shí)下相契合的理念——以學(xué)定教、因?qū)W施教、變教為學(xué)、順學(xué)而導(dǎo)的思想火花掠過我的心頭。我們需要轉(zhuǎn)變備課方式、研究方式、教學(xué)方式……

三、“所以然”之三：改變課堂，變教為學(xué)

讀書感悟：當(dāng)下的課堂，教師追求現(xiàn)有知識(shí)的掌握，不大追求讓孩子經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程。教學(xué)缺乏一定的“文化性”。只是讓孩子接受數(shù)學(xué)這份“冰冷的美麗”，喪失了知識(shí)產(chǎn)生時(shí)那“火熱的思考”階段。教學(xué)應(yīng)該讓孩子重溫人類歷史發(fā)生發(fā)展的重要階段。因?yàn)椋祟悅€(gè)體的成長(zhǎng)其實(shí)在一定程度上反映與重復(fù)著人類種族的文明進(jìn)化過程。

案例解析：六年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略》第二課中，用假設(shè)法解決“雞兔同籠”。疫情期間，線上教學(xué)進(jìn)行了幾周，孩子們的學(xué)習(xí)勁頭開始懈怠。而這部分知識(shí)又是教學(xué)難點(diǎn)。于是，我們六年級(jí)組的老師就做了這樣的嘗試，把課堂還給學(xué)生，把思維和創(chuàng)造還給學(xué)生，采取先預(yù)習(xí)、探究的形式來學(xué)習(xí)。下面是孩子們自己研究的成果：

通過孩子們自學(xué)的成果，我們不難發(fā)現(xiàn)：不同層次的學(xué)生應(yīng)該有不同的解決方法，假設(shè)法、砍足法、列舉法等。接下去，我們采取每個(gè)同學(xué)選擇一種解決方法，在微信群中講解。最后，再次去觀看視頻，豐富補(bǔ)充學(xué)生的認(rèn)知。

改變課堂，變教為學(xué)。讓課堂的精彩真正屬于學(xué)生的精彩，課堂的收獲應(yīng)該是學(xué)生有所收獲。作為教師，我們應(yīng)該給孩子留有獨(dú)立思考的空間，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)思考中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，給予孩子充分交流的時(shí)間，讓他們?cè)诮涣髦凶兊盟季S靈活、有深度。

是的，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該這樣教。老師不僅“知其然”，還懂得無限廣闊的“所以然”;眼里不僅有知識(shí)，心里更應(yīng)該裝著每一位學(xué)生走進(jìn)課堂。課堂氛圍應(yīng)該是自由、自然、自主的。在這里，我們應(yīng)該和孩子一起去感受層層剝繭的新奇與新鮮，體會(huì)柳暗花明又一村的驚喜，更應(yīng)該感知數(shù)學(xué)錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系下又如此的“殊途同歸”……

如果說，上課是一次旅程，那么讓我們匆忙的腳步放慢一點(diǎn)，慢一點(diǎn)，讓每個(gè)邂逅都那么自然，那么徹底。美學(xué)家朱光潛先生說：“慢慢走，欣賞啊！”數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要讓每個(gè)學(xué)生都知其然，更知其所以然，知其所以必然。在“知然”的過程中，觸摸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最美麗的風(fēng)景！