常規(guī)三軸壓縮條件下的負乘方型巖石強度準則

李 斌，王大國

常規(guī)三軸壓縮條件下的負乘方型巖石強度準則

李 斌，王大國

(西南科技大學(xué) 環(huán)境與資源學(xué)院，四川 綿陽 621010)

為較高精度地評估巖石在不同圍壓條件下的三軸強度，根據(jù)巖石破壞時的主應(yīng)力差與圍壓呈上凸的非線性特征，提出負乘方型強度準則。通過將該準則與Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則進行精度比較，結(jié)果表明，乘方型準則參數(shù)對圍壓變化具有較低的敏感度，且該準則可以更高精度地評估巖石三軸強度。應(yīng)用公開發(fā)表文獻中多種不同類型巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)，對負乘方型強度準則的適用性進行驗證，結(jié)果顯示，在不同圍壓條件下，該準則評估的巖石三軸強度與試驗強度均非常一致，說明負乘方型準則對評估不同類型巖石的三軸強度具有較好的適用性；同時，通過與目前巖石力學(xué)界認為較好的指數(shù)型準則的比較，得到兩種準則評估的巖石三軸強度平均相對誤差MRE均在5%以內(nèi)，其中負乘方型準則具有更高的精度。該準則可為深部巖石工程開挖與支護等設(shè)計提供參考。

三軸強度；強度準則；非線性；指數(shù)型準則；負乘方型準則

巖石強度準則作為巖石工程設(shè)計和決策的重要基礎(chǔ)與科學(xué)依據(jù)，一直是巖石力學(xué)界研究的基本問題之一[1-3]。Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則是目前巖石工程領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的兩種強度準則，前者作為一種線性準則，通常過高地評估巖石屈服時的強度[4-5]；后者雖然是一個非線性準則，但仍具有較強的線性特征，其僅適用于圍壓低于巖石單軸抗壓強度[6]的情況。因此，這兩種傳統(tǒng)強度準則難以表征高圍壓下巖石強度的非線性特征。

近年來，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者逐漸重視對非線性巖石強度準則的研究，孔志鵬等[7]根據(jù)雙2強度理論，提出一種新的非線性三參數(shù)強度準則；昝月穩(wěn)等[8]基于雙剪模型和Hoek-Brown準則，建立廣義非線性統(tǒng)一強度理論；You Mingqing[9]基于圍壓對巖石強度的影響，構(gòu)造出三參數(shù)的巖石指數(shù)型強度準則； M. Singh等[10]根據(jù)132組巖石三軸試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，提出一種簡單的拋物線型強度準則；同時，在Mohr-Coulomb準則的基礎(chǔ)上，通過添加一個修正項提出非線性的Mohr-Coulomb準則。

筆者根據(jù)巖石在不同圍壓下的強度特征，提出一種新的非線性巖石強度準則。同時，將該準則與Mohr-Coulomb準則和Hoek- Brown準則進行比較，對其評估巖石三軸強度的精度進行驗證，應(yīng)用公開發(fā)表文獻中不同類型巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)對該準則的適用性加以分析，并將該準則與目前巖石力學(xué)界認為較好的指數(shù)型準則進行比較，來進一步檢驗其評估巖石三軸強度的精度水平。

1 準則表達式

大量巖石常規(guī)三軸壓縮破壞試驗研究成果[11-14]表明，巖石破壞時的主應(yīng)力差(1–3)與圍壓3的關(guān)系呈現(xiàn)非線性。在(1–3)–3坐標系下，該非線性呈上凸趨勢，如圖1所示，在圍壓較低時該非線性較弱，可以近似為線性；隨著圍壓的增加，非線性關(guān)系明顯增強。筆者在之前的研究中[15]，根據(jù)巖石臨界狀態(tài)理論[16]提出巖石臨界狀態(tài)圍壓的概念，并認為當圍壓增加到該臨界值時，巖石破壞時的主應(yīng)力差將達到最大值，如果圍壓再繼續(xù)增加，該值將保持不變，該主應(yīng)力差最大值被定義為臨界狀態(tài)偏應(yīng)力。圖1中，為臨界狀態(tài)偏應(yīng)力，c為巖石單軸抗壓強度。

圖1 不同圍壓下巖石三軸強度曲線

巖石臨界狀態(tài)理論可以較好地描述高圍壓下巖石破壞時的主應(yīng)力差與圍壓的非線性關(guān)系，但該理論是一個經(jīng)驗假設(shè)[16]，目前尚未有明確的巖石常規(guī)三軸壓縮破壞試驗數(shù)據(jù)驗證該臨界狀態(tài)的真實存在；同時，臨界狀態(tài)理論假定巖石破壞時的主應(yīng)力差在圍壓增加到臨界狀態(tài)圍壓后，其值將保持不變，導(dǎo)致通過應(yīng)用該理論改進的強度準則的數(shù)學(xué)表達式為分段函數(shù)[17]，形式上較為復(fù)雜。鑒于此，本文認為巖石破壞時的主應(yīng)力差與圍壓的非線性關(guān)系，隨著圍壓的不斷增加，將會逐漸逼近巖石臨界狀態(tài)，即圖1中的曲線將會逐漸逼近(1–3)=。

通過觀察圖1中巖石破壞時的主應(yīng)力差與圍壓的非線性關(guān)系曲線，以及在高圍壓下曲線逐漸逼近臨界狀態(tài)的趨勢，發(fā)現(xiàn)該曲線逼近(1–3)=的差值隨圍壓3的增加逐漸減小。同時，考慮到針對不同種類的巖石，差值減小的趨勢可能不同，且為了保證量綱一致，不妨將構(gòu)造成以下關(guān)于3的函數(shù)式：

式中：和為無量綱參數(shù)，參數(shù)的量綱與應(yīng)力量綱相同，且3者均為正值。

圖1中曲線表達式可寫為：

當3=0時，1–3=c，將其代入式(2)可得：

將式(3)代入式(2)可得：

鑒于式(4)將(1–3)表征為關(guān)于3的負乘方型函數(shù)，本文將其稱為巖石負乘方型強度準則(以下簡稱負乘方型準則)。

2 準則的精度驗證

為驗證負乘方型準則的非線性特征，以及其是否能夠較高精度地評估巖石在不同圍壓條件下的三軸強度，將其與目前巖土工程領(lǐng)域界廣泛應(yīng)用的兩種傳統(tǒng)強度準則(Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則)進行對比研究。基于客觀原則，選取文獻[6]中Indiana石灰?guī)r11組三軸試驗結(jié)果為數(shù)據(jù)樣本(表1)，對3個準則評估該巖石三軸強度的精度進行比較，比較內(nèi)容主要包括兩個方面：①準則參數(shù)對圍壓的敏感性分析；②準則評估巖石三軸強度的準確度分析。

表1 Indiana石灰?guī)r三軸試驗數(shù)據(jù)

Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則用主應(yīng)力分別表示為：

Mohr-Coulomb準則

Hoek-Brown準則

式中：為黏聚力；為內(nèi)摩擦角；為與巖石類型有關(guān)的常數(shù)。式(6)為Hoek-Brown準則針對完整巖石的數(shù)學(xué)表達式。

2.1 準則參數(shù)的敏感性分析

巖石強度準則參數(shù)通常采用對三軸試驗數(shù)據(jù)擬合的方式來獲取。一般而言，選取不同組數(shù)的三軸試驗數(shù)據(jù)擬合得到的準則參數(shù)會存在一定程度的差異，這種差異反映了準則參數(shù)隨圍壓變化的波動性，差異越大則該波動就越大，說明準則參數(shù)對圍壓的敏感性就越大，準則評估的巖石三軸強度與試驗強度的偏差可能就越大。

從低圍壓到高圍壓，分別考慮表1中前2組、前3組直至全部的11組Indiana石灰?guī)r三軸試驗數(shù)據(jù)，將其分別帶入Mohr-Coulomb準則公式(5)、Hoek-Brown準則公式(6)和負乘方型準則公式(4)，并在1stOpt程序中采用標準Levenberg-Marquardt法和通用全局優(yōu)化法來確定最適合這3種準則的參數(shù)。得到10種擬合條件下3種準則最適合的參數(shù)，見表2，為消除各準則參數(shù)量綱的影響，采用變異系數(shù)CV來表征各準則參數(shù)隨圍壓變化的波動性，即CV值越大表示準則參數(shù)對圍壓的敏感性越大。

表2 3種準則針對Indiana石灰?guī)r最適合參數(shù)

考慮到單軸抗壓強度的重要意義，表2中Mohr- Coulomb準則加入單軸抗壓強度c列，其中c= 2·cos/(1–sin)。

在表2中可以較直觀地觀察到，隨著選取擬合條件的不同，Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則的單軸抗壓強度c隨圍壓變化的波動性較大，變異系數(shù)CV值分別為0.15和0.16，而負乘方型準則的c沒有波動，CV值為0；3個準則中其他參數(shù)隨圍壓變化均呈現(xiàn)不同程度的波動，Mohr-Coulomb準則參數(shù)和的CV值分別為0.29和0.41，Hoek- Brown準則參數(shù)的CV值為0.54，負乘方型準則參數(shù)、和的CV值分別為0.09、0.47和0.13。

通過上述分析可知，負乘方型準則參數(shù)和c對圍壓變化具有較低的敏感度，尤其是參數(shù)c基本保持不變，說明該準則評估巖石單軸抗壓強度和臨界狀態(tài)偏應(yīng)力具有較高的精度；參數(shù)和的波動性相對較大，但這兩個參數(shù)將與參數(shù)和c共同決定圖1中差值，從而控制準則的精度。

2.2 準則準確度分析

為驗證負乘方型準則評估巖石三軸強度的準確度，將其與Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則進行比較，具體過程為：①假定表1中僅前4組試驗數(shù)據(jù)可用，擬合得到各準則參數(shù)(即表2中前4組試驗數(shù)據(jù)擬合條件下對應(yīng)的參數(shù))，以及各準則具體的數(shù)學(xué)表達式；②根據(jù)得到的3種準則數(shù)學(xué)表達式，評估Indiana石灰?guī)r在不同圍壓下的強度；③將準則評估的巖石三軸強度與試驗強度進行對比。為描述準則評估的巖石三軸強度與試驗強度的差異，選取相對誤差RE和平均相對誤差MRE作為表征指標，量化比較各準則評估巖石三軸強度的準確度。根據(jù)相對誤差和平均相對誤差的意義，RE和MRE在本文中應(yīng)用的具體計算表達式為：

式中：1itest為巖石在第組三軸試驗時的試驗強度；1ieval為對應(yīng)的第組三軸試驗圍壓3下，準則評估的巖石三軸強度；為巖石三軸試驗的組數(shù)，針對表1中Indiana石灰?guī)r，=11。

通過上述方法，得到3種準則針對Indiana石灰?guī)r的具體數(shù)學(xué)表示為：

Mohr-Coulomb準則

Hoek-Brown準則

負乘方型準則

利用式(8)—式(10)這3種準則公式評估Indiana石灰?guī)r在不同圍壓下的三軸強度，與試驗強度進行對比，并根據(jù)式(7)計算相對誤差RE和平均相對誤差MRE，得到的RE結(jié)果見表3，且Mohr- Coulomb準則、Hoek-Brown準則和負乘方型準則的MRE分別為15.78%、12.88%和3.50%。

為更加形象直觀地對比3種準則評估的Indiana石灰?guī)r三軸強度與試驗強度的差異，將表3做成圖的形式，如圖2所示。

表3 3種準則對Indiana石灰?guī)r三軸強度的評估結(jié)果

注：表中1eval為不同準則預(yù)測的巖石三軸強度值。

圖2 3種準則評估Indiana石灰?guī)r三軸強度與試驗強度對比

從圖2可以直觀地觀察到，圍壓較低情況下，3種準則評估的Indiana石灰?guī)r三軸強度與試驗強度基本一致；隨著圍壓的增加，3種準則均過高地評估巖石三軸強度，但負乘方型準則評估的偏差值明顯低于另外兩種準則。比較表3中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，負乘方型準則對每個具體圍壓下巖石三軸強度的評估相對誤差RE均低于另外兩種準則；其平均相對誤差MRE也低于Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則。

上述分析表明，負乘方型準則可以較高精度地評估巖石三軸強度，其精度高于Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則。

3 負乘方型準則的適用性驗證

為驗證本文提出的負乘方型準則具有較好的適用性，檢驗其能夠高精度地評估其他種類巖石的三軸強度，基于客觀原則，采用已公開發(fā)表文獻中大量的巖石三軸試驗數(shù)據(jù)進行驗證。具體的巖石有Solnhofen石灰?guī)r[18]、Bunt砂巖[19]、Carrara大理石[20]、Daye大理石[21]、Dunham白云石[18]、Jinping砂巖[9]、Nanyang大理石[22]、Yamaguchi大理石[18]、Vosges砂巖[23]和Mizuho粗面巖[24]，三軸試驗數(shù)據(jù)見表4。

表4 已公開發(fā)表文獻中巖石三軸試驗數(shù)據(jù)

具體驗證過程為：將某種巖石的全部三軸試驗數(shù)據(jù)代入負乘方型準則式(4)，在1stOpt程序中采用標準Levenberg-Marquardt法和通用全局優(yōu)化法確定負乘方型準則參數(shù)、c、和，得到具體的準則數(shù)學(xué)表達式，并用其評估該種巖石在不同圍壓下的強度。

按照上述驗證過程，在1stOpt程序中擬合得到負乘方型準則針對表4中10種巖石的具體參數(shù)值以及準則表達式，見表5。

根據(jù)表5中具體的負乘方型準則表達式即可評估表4中10種巖石在不同圍壓下的三軸強度，得到巖石評估強度與試驗強度的對比，如圖3所示，并根據(jù)式(7)計算二者的平均相對誤差MRE，具體結(jié)果見表6。

表5 負乘方型準則針對10種巖石的參數(shù)及表達式

續(xù)表

表6 負乘方型準則評估10種巖石三軸強度的平均相對誤差

從以上驗證結(jié)果可以較直觀地觀察到，負乘方型準則對表4中10種巖石評估的三軸強度曲線與試驗強度曲線總體基本一致，重合度較高，平均相對誤差MRE為0.24%~2.17%，均在5%以內(nèi)。

通過應(yīng)用文獻中不同種類巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)對負乘方型準則適用性驗證表明，該準則具有較好的適用性，可以較高精度地評估巖石在不同圍壓條件下的三軸強度。

4 與其他準則的比較

巖石強度理論的發(fā)展已有逾百年歷史，國內(nèi)外學(xué)者已提出多種不同形式的巖石強度準則，如統(tǒng)一強度準則、指數(shù)型準則、冪函數(shù)型Mohr準則等。尤明慶[25]通過對巖石工程界常用的十幾種巖石強度準則的比較，指出其提出的指數(shù)型準則評估的巖石強度與巖石試驗強度的偏差最小。鑒于此，為進一步了解本文提出的負乘方型準則的精度水平，將其與指數(shù)型準則進行評估巖石三軸強度的精度比較。

指數(shù)型強度準則的數(shù)學(xué)表示為：

式中：0為巖石單軸抗壓強度；∞為巖石極限主應(yīng)力差；0為圍壓為0時對巖石強度的影響系數(shù)。

為進行負乘方型準則和指數(shù)型準則的比較，基于客觀原則，本節(jié)將繼續(xù)以表4中10種巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本進行分析。具體比較過程為：①將某種巖石全部的三軸試驗數(shù)據(jù)代入指數(shù)型準則公式(11)，在1stOpt軟件中使用麥夸特法和通用全局優(yōu)化法，以擬合偏差絕對值之和最小為擬合目標，來求解相應(yīng)準則參數(shù)，得到指數(shù)型準則針對該種巖石的具體數(shù)學(xué)表達式；②用獲得的指數(shù)型準則數(shù)學(xué)表達式評估該種巖石在不同圍壓下的三軸強度，并根據(jù)式(7)計算出平均相對誤差MRE；③將負乘方型準則與指數(shù)型準則評估的巖石三軸強度平均相對誤差進行比較。

通過以上方法，在1stOpt程序中擬合得到指數(shù)型準則針對表4中10種巖石的具體參數(shù)值、準則表達式和評估的巖石三軸強度平均相對誤差，見表7。

由表6和表7可知，負乘方型準則和指數(shù)型準則對表4中10種巖石評估的三軸強度平均相對誤差MRE均在5%以內(nèi)，說明這兩種準則均具有較高的精度。對這10種巖石而言，負乘方型準則對其評估的三軸強度平均相對誤差均略低于指數(shù)型準則。

負乘方型準則和指數(shù)型準則都是基于常規(guī)三軸壓縮條件下，巖石破壞時主應(yīng)力差隨著圍壓的增加將逐漸逼近某一極限值的觀點而提出。負乘方型準則(4參數(shù))比指數(shù)型準則(3參數(shù))多一個參數(shù)，這可能是前者評估巖石三軸強度精度略高的一個重要原因。

5 結(jié)論

a. 基于常規(guī)三軸壓縮強度試驗中巖石破壞時的主應(yīng)力差與圍壓呈上凸的非線性特征，提出了巖石負乘方型強度準則；同時，基于Indiana石灰?guī)r三軸試驗結(jié)果，將該準則與傳統(tǒng)準則(Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則)進行比較，分析得出該準則可以更高精度地評估巖石三軸強度。

表7 指數(shù)型準則對10種巖石評估的三軸強度平均相對誤差

b. 基于公開發(fā)表文獻中10種不同類型巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)，驗證得出負乘方型準則評估的巖石三軸強度與巖石試驗強度一致性較高，證明本文提出的負乘方型準則具有較好的適用性。

c. 負乘方型準則和指數(shù)型準則評估的巖石三軸強度均具有較高的精度。針對選取的10種巖石的三軸試驗數(shù)據(jù)樣本分析而言，負乘方型準則評估巖石三軸強度的精度略高于指數(shù)型準則。

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Negative power rock strength criterion under conventional triaxial compression

LI Bin, WANG Daguo

(School of Environment and Resource, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, China)

In order to evaluate accurately the rock strength under different confining pressures, a negative power rock strength criterion was proposed according to the upward convex nonlinear relationship between deviator stress and confining pressure during rock failure. The accuracy of the proposed criterion was compared with Mohr-Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion. The results showed that the parameters of the negative power criterion are less sensitive to the range of confining pressure, and the negative power criterion could evaluate rock triaxial strength with higher precision. Meanwhile, the applicability of the proposed criterion was verified by using an extensive database of rock triaxial strength tests from literatures. The results showed that the evaluated strength values were very consistent with the test strength values. Thus, the negative power criterion has good applicability to evaluate the triaxial strength of different types of rock. Furthermore, by comparing with the exponential criterion, regarded as an outstanding criterion in rock engineering, the mean relative errors of the rock strengths evaluated by the two criteria were all within 5%, and the negative power criterion has higher accuracy in predicting rock triaxial strength. The proposed criterion can provide scientific reference for the design of exaction and support in deep rock engineering.

triaxial strength; strength criterion; nonlinear; exponential criterion; negative power criterion

TU451

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2020.02.024

1001-1986(2020)02-0152-09

2019-07-04；

2019-10-22

國家自然科學(xué)基金項目(51904248)；四川省科技計劃項目(2019YFH0088)；四川省教育廳科研項目(18ZB0598)

National Natural Science Foundation of China(51904248)；Science and Technology Program of Sichuan Province(2019YFH0088)；Science and Technology Innovation Project of Education Academy in Sichuan Province(18ZB0598)

李斌，1988年生，男，湖北鐘祥人，博士，講師，從事巖石力學(xué)及采礦方法與工藝方面的研究. E-mail：li19880506@126.com

李斌，王大國. 常規(guī)三軸壓縮條件下的負乘方型巖石強度準則[J]. 煤田地質(zhì)與勘探，2020，48(2)：152–160.

LI Bin，WANG Daguo. Negative power rock strength criterion under conventional triaxial compression[J]. Coal Geology & Exploration，2020，48(2)：152–160.

(責(zé)任編輯 周建軍)