曲徑通幽：中考函數(shù)解法探究

文陳 緩

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，初中階段涉及的函數(shù)有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，而中考對(duì)函數(shù)的考查傾向于綜合化、多樣化。因此，同學(xué)們不僅需要掌握基本的函數(shù)知識(shí)，還需要認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他知識(shí)的相關(guān)聯(lián)系，從而靈活求解。

例1 （2019·江蘇無(wú)錫）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖1 所示，則關(guān)于x的不等式3kx-b＞0的解集為 。

【分析】根據(jù)圖像，可判斷一次函數(shù)y=kx+b的增減性及與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即能求出不等式3kx-b＞0的解集。

解：由圖像可知，一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-6，0），且k＜0，所以，0=-6k+b，則b=6k。

所以不等式3kx-b＞0 可轉(zhuǎn)化為3kx-6k＞0，即（3x-6）k＞0。

因?yàn)閗＜0，所以3x-6＜0，解得x＜2。

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)一次函數(shù)圖像的增減性確定k的范圍。另外，函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能忘記考慮哦。

例2 （2019·江蘇無(wú)錫）如圖2，已知A為反比例函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B。若△OAB的面積為2，則k的值為（ ）。

A.2 B.-2 C.4 D.-4

【分析】從反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義入手，不妨設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），將△OAB的面積用不同的方式表示出來(lái)，然后去絕對(duì)值即可得到滿足條件的k的值。

解：連接OA，如圖2 所示，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），因?yàn)锳B⊥y軸，所以，S△OAB所以 |k|=4。因?yàn)辄c(diǎn)A在第二象限，所以k＜0，故k=-4，選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別向x軸和y軸作垂線，該點(diǎn)和垂足以及原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是定值中考經(jīng)常對(duì)此類問(wèn)題的變式進(jìn)行考查，同學(xué)們一定要有“火眼金睛”，在變化的問(wèn)題中找出基本圖形。

例3 （2019·江蘇南京改編）

【概念認(rèn)識(shí)】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走。可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）=||x1-x2+||y1-y2。

【數(shù)學(xué)理解】（1）①已知點(diǎn)A（-2，1），則d（O，A）=；

②函數(shù)y=-2x+4（0≤x≤2）的圖像如圖3①所示，B是圖像上一點(diǎn)，d（O，B）=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 。

（3）函數(shù)y=x2-5x+7（x≥0）的圖像如圖3③所示，D是圖像上一點(diǎn)，求d（O，D）的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)。

【分析】（1）①根據(jù)條件中給出的新定義，直接代入求解；②根據(jù)B是圖像y=-2x+4（0≤x≤2）上一點(diǎn)，可設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，-2x+4），結(jié)合d（O，B）=3，得到關(guān)于x的一元一次方程，求解該方程即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）利用反證法，根據(jù)題意，得，整理得x2-3x+4=0，由b2-4ac＜0 可證得該函數(shù)的圖像不存在滿足題意的點(diǎn)C。（3）根據(jù)題意，得去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值。

②設(shè)B（x，-2x+4）（0≤x≤2），則d（O，

所以，x+（-2x+4）=3，解得x=1，

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2）。

因?yàn)閤＞0，所以，則 ||x- 0+，所以

方程兩邊同乘x，得x2+4=3x。

整理，得x2-3x+4=0。

因?yàn)閍=1，b=-3，c=4，所以b2-4ac=（-3）2-4×1×4=-7＜0，

所以方程x2-3x+4=0無(wú)實(shí)數(shù)根，

（3）設(shè)D（x，x2-5x+7）（x≥0）。

根 據(jù) 題 意，得d（O，D）=||x- 0+

所以，當(dāng)x=2 時(shí)，d（O，D）有最小值3，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，1）。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有新定義、解方程、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。需要我們注意的是，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)部分蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想，能夠與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，構(gòu)建綜合性的問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)。