凸顯通性通法 感悟基本策略

文環 靖

函數是中學數學的核心內容之一，函數建模也是模型思想的一個重要組成部分。在初中階段，我們主要學習一次函數、反比例函數和二次函數。這三種函數在考查內容和考查要求上幾乎是相同的。

一、利用待定系數法求二次函數表達式

例1 根據下列條件，分別確定二次函數的表達式：

（1）圖像與x軸交點的橫坐標分別是與y軸交點縱坐標是-5；

（2）圖像的頂點坐標是（1，-4），且經過點（0，-3）。

【分析】待定系數法求函數關系式是常考題型，它一般位于綜合題的第一問。無論是哪種函數，待定系數法求函數關系式的步驟一般都是統一的：（1）根據題目條件設出合適的函數關系式；（2）將圖像上的點坐標代入，建立方程（組）；（3）解方程（組），確定待定系數；（4）寫出函數關系式。

把點（0，-5）代入得-5，解得

（方法2）設二次函數表達式為y=ax2+bx+c（a≠0）。

解得

因為圖像經過點（0，-3），

所以-3=a-4，a=1。

所以二次函數表達式為y=（x-1）2-4=

【點評】在所有步驟中，對同學們分析問題能力要求最高的是第一步——設表達式。我們必須要仔細審題確定是哪種函數，弄清到底什么樣的表達式合適。以二次函數為例，如果題目條件只是任意給了不在一條直線上的三個點，那么可以設一般式；如果像第（1）問那樣給出兩個與x軸的交點坐標，則可以設交點式；若題目條件是頂點坐標，那么則可設頂點式。確定合適的函數關系式，將為后期問題是否能夠快速準確解決奠定非常重要的基礎。第二步——代入，必須明確不是任何點都能代入，只有在圖像上的點才能代入。

二、利用數形結合解決函數問題

例2 已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點；

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【分析】第（1）問是探究與x軸的交點情況，所以y=0，此處實際上是判斷方程2·（x-1）（x-m-3）=0 的根的情況。第（2）問“該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方”指的是圖像與y軸交點的縱坐標大于0，由此構造出關于m的不等式。

（1）證明：當y=0 時，2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

當m+3=1，即m=-2 時，方程有兩個相等的實數根；

當m+3≠1，即m≠-2 時，方程有兩個不相等的實數根。

所以，不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點。

（2）解：當x=0 時，y=2m+6，即該函數的圖像與y軸交點的縱坐標是2m+6。

當2m+6＞0，即m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

【點評】第（1）問判斷一元二次方程根的情況可以分別從根的判別式或者解方程兩種途徑來解決。結合方程特征，同學們要學會優化。本題方程結構很明顯，利用因式分解法解方程最簡單。第（2）問“該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方”，若有的同學對這句話不太理解，解決函數問題的基本策略——畫圖像就派上用場了，通過畫圖便能將其轉化為代數問題。