點穴破陣 妙法解題

文陳正亮

在戰爭中，將帥經常通過排兵布陣來迷惑對手，以最小的代價換取最大的殺傷力。但作為對手方，如何找到此陣法的弱點即突破口，應該是最重要的事情了。數學解題過程中，命題人“絞盡腦汁”設下的局，而同學們該怎樣才能撥開重重迷霧，找到線索，一舉拿下呢？在此老師舉一例，希望同學們細細品味。

例 （1）【操作與發現】如圖1，在△MNQ中，MQ≠NQ。請你以MN為一邊，在MN的同側構造一個與△MNQ全等的三角形，畫出圖形，并簡要說明構造的方法。

（2）【借鑒與應用】參考你畫圖構造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，求證：CD=AB。

解：（1）如圖1，以N為圓心，以MQ為半徑畫圓弧；以M為圓心，以NQ為半徑畫圓弧；兩弧的交點為點P。△NMP即為所畫的三角形。根據“SSS”可以判斷△NMP與△MNQ全等。

【分析】（2）觀察條件∠ACB+∠CAD=180°，兩個角是內錯角，分別位于兩個三角形中。聯系曾經學過的知識點，涉及兩個角互補的問題，常見的思路有：鄰補角的定義；兩直線平行，同旁內角互補；當然還有圓的內接四邊形內對角互補。千萬不能小看自己冒出的思維火花，用好以上的這些知識點就相當于獲取了解題的法寶。

解法一：如圖4，延長BC至E，使得CE=AD，連接AE。

在△EAC和△DCA中，

解法二：如圖5，與解法一類似，延長DA到點E，使得AE=BC，連接EC。同學們可以參照解法一自行完成。

解法三：如圖6，過點C作AD的平行線，在平行線上截取CE=CB，連接

AE。

在△EAC和△BAC中，

解法四：如圖7，過點A作CB的平行線，在平行線上截取AF=AD，連接CF。同學們可以參照解法三自行完成。

本題的難點在于構造全等三角形，然后轉化相應的線段和角。點穴破陣的關鍵在于如何轉化兩個互補角這個條件，然后選擇屬于你的好方法，剩下的就是你大膽發揮的空間了。