“數形結合”求二次函數最值

文康葉紅

“以形助數”“以數解形”，使復雜問題簡單化，是數學的規律性和靈活性的有機結合。我們從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，便拓寬了解題思路，使問題得以更快解決。

原題呈現 蘇科版《數學》九年級下冊第17頁例題：

畫出二次函數y=-x2-4x-5 的圖像，并指出它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值。

【解析】本題考查的是二次函數的圖像和性質。想要畫出二次函數y=-x2-4x-5 的圖像，可先將函數表達式變形為y=a（x-h）2+k的形式。結合圖像，得出二次函數的圖像特征和函數最值。

解：y=-x2-4x-5

二次項系數a=-1＜0，函數圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1），對稱軸是直線x=-2。

二次函數y=-x2-4x-5 的圖像如圖1所示。

當x=-2 時，y的 值 最 大，最 大 值是-1。

【總結】借助函數圖像上點的位置的“直觀變化”，結合函數表達式確定的“數量變化”，可求二次函數的最大值和最小值。

因此，歸納如下：

二次函數y=ax2+bx+c的圖像是一條拋物線，它的頂點坐標是對稱軸是直線

當a＞0 時，拋物線開口向上，當x=時，函數y=ax2+bx+c的值最小，

當a＜0 時，拋物線開口向下，當x=時，函數y=ax2+bx+c的值最大，

繼續思考

【變式一】已知二次函數y=-x2-4x-5，當-3≤x≤0 時，求函數的最大值和最小值。

【解析】由例題可知：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1。與例題不同的是，自變量x的取值范圍：例題中x可取一切實數，但在變式一中，x的取值范圍是-3≤x≤0，即原來二次函數y=-x2-4x-5 的圖像的一部分。畫出圖像，直觀判斷，從而求出最值。

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1。

二次項系數a=-1＜0，函數圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1），對稱軸是直線x=-2。

當-3≤x≤0 時，二次函數y=-x2-4x-5的圖像如圖2所示。

觀察圖像可知：當x=0 時，y的值最小，y最小值=-5；當x=-2 時，y的值最大，y最大值=-1。

【變式二】已知二次函數y=x2-2x-3，當時，求函數的最大值和最小值。

【解析】此問題是求二次函數y=x2-2x-3 的最值，但自變量x的取值范圍是畫出二次函數的圖像并觀察，我們不難發現最值與x的取值范圍有關。如圖3，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大。

鞏固提升

【變式三】已知二次函數y=-x2+2x+2，當t≤x≤t+2 時，求函數的最大值和最小值。

【解析】觀察題目，要求函數的最值，可畫出函數圖像，根據函數圖像的性質進行判斷。題中給出的x的取值范圍含有參數，則需對其進行分類討論，根據原函數的對稱軸為直線x=1，試著進行分析。結合所學，我們可分對稱軸在所給范圍左側、之間、右側三種情況進行討論，畫出圖像，根據圖像性質求出最值。

解：y=-x2+2x+2=-（x2-2x+1-1）+2=-（x-1）2+3。

二次項系數a=-1＜0，函數圖像開口向下，頂點坐標是（1，3），對稱軸是直線x=1。

（1）當t+2≤1 時，即t≤-1 時，由圖4知，當x=t時，y的值最小，y最小值=-t2+2t+2；當x=t+2 時，y的值最大，y最大值=-（t+2-1）2+3=-（t+1）2+3=-t2-2t+2。

（2）當t＜1＜t+2時，知-1＜t＜1。

①當-1＜t≤0 時，由圖5 知，當x=t時，y的值最小，y最小值=-t2+2t+2；當x=1時，y的值最大，y最大值=3。

②當0＜t＜1 時，由圖6 知，當x=t+2時，y的值最小，y最小值=-（t+2-1）2+3=-t2-2t+2；當x=1時，y的值最大，y最大值=3。

（3）當t≥1 時，由圖7 知，當x=t+2時，y的值最小，y最小值=-（t+2-1）2+3=-t2-2t+2；當x=t時，y的值最大，y最大值=-t2+2t+2。