一線貫通看函數(shù)

文何君青

近幾年來，各地中考加強了對函數(shù)的意義和性質(zhì)的考查，凸顯了數(shù)形結合思想，增強了對運用函數(shù)模型解決問題的意識與能力的考查。這些試題不僅考查了函數(shù)的相關概念，還考查了函數(shù)與數(shù)學其他知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，如函數(shù)與方程的聯(lián)系、函數(shù)圖像與幾何圖形的聯(lián)系等。本文就以函數(shù)中幾個容易答錯的問題為例予以剖析，以期對同學們的復習有所幫助。

一、借助函數(shù)圖像分析函數(shù)性質(zhì)

圖像以幾何直觀的方式體現(xiàn)量與量之間的關系，對揭示函數(shù)的性質(zhì)、探索幾何圖形特征、解決實際問題都具有較好的價值與意義。

A.y1＜y2B.y1＞y2

C.y1=y2D.不能確定

【錯解】B。

【錯因分析】反比例函數(shù)圖像的增減性是這樣描述的：當k＞0 時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k＜0 時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。做題時，很多同學容易忽視反比例函數(shù)增減性中“在每一象限內(nèi)”這一條件，故而做錯此題。

【正解】D。

例2 “如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有兩個不相等的實數(shù)根?！薄K科版《數(shù)學》九年級（下冊）P25。參考上述教材中的話，判斷方程x2-實數(shù)根的情況是（ ）。

A.有三個實數(shù)根

B.有兩個實數(shù)根

C.有一個實數(shù)根

D.無實數(shù)根

【錯解】B。

【錯因分析】很多同學做此題時，不能將教材中二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題和相對應的一元二次方程的解的個數(shù)問題遷移至判斷方程實數(shù)根的情況中，從而憑借感覺錯選B。

【正解】解決本題，只需畫出二次函數(shù)y=x2-2x+2 的圖像與反比例函數(shù)的圖像，再數(shù)出圖像公共點的個數(shù)即可，故選C。

二、利用函數(shù)模型解決實際問題

應用函數(shù)模型解決實際問題是各地數(shù)學中考中必不可少的內(nèi)容。這類試題主要考查同學們運用函數(shù)模型分析、解決實際問題的能力及建模思想。

例3 （2018·浙江嘉興）小紅幫弟弟蕩秋千（如圖1），秋千離地面的高度h（m）與擺動時間t（s）之間的關系如圖2所示。

（1）根據(jù)函數(shù)的定義，請判斷變量h是否為關于t的函數(shù)？

（2）結合圖像回答：

①當t=0.7s時，h的值是多少？并說明它的實際意義。

②秋千擺動第一個來回需多少時間？

【錯解】第（1）小題中變量h不是t的函數(shù)。

【錯因分析】由于我們在初中階段主要學習三種函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，故會錯誤地認為函數(shù)的圖像不是直線就是雙曲線或是拋物線。這是對函數(shù)的實質(zhì)認識不清晰所致。

【正解】（1）因為對于每一個擺動時間t，都有一個唯一的h的值與其對應，所以變量h是關于t的函數(shù)。

（2）①h=0.5m。它的實際意義是秋千擺動0.7s時，離地面的高度為0.5m。

②2.8s。

例4 如圖3，AB=5，P是線段AB上的動點，分別以AP、BP為邊，在線段AB的同側(cè)作正方形APCD和正方形BPEF，連接CF，則CF的最小值是 。

【錯解】2.5。

【錯因分析】很多同學在做此題時，無從下手，憑直觀感覺猜測當點P為AB中點時，CF的值最小。

【正解】設AP=x（0≤x≤5），則EF=5-x，EC=5-2x。

所以當AP=3 時，CF有最小值，最小值是

三、運用函數(shù)知識解決綜合問題

很多地區(qū)的壓軸題都以函數(shù)為主要知識載體，將眾多知識有機聯(lián)系，著重考查同學們的綜合能力，同時對所運用的數(shù)學方法提出了較高的要求。

例5 如圖4，把函數(shù)y=x的圖像上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，得到函數(shù)y=2x的圖像；也可以把函數(shù)y=x的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不變，得到函數(shù)y=2x的圖像。

類似地，我們可以認識其他函數(shù)。

（2）已知下列變化：①向下平移2個單位長度；②向右平移1個單位長度；③向右平移個單位長度；④縱坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍，橫坐標不變；⑤橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變；⑥橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變。

（ⅰ）函數(shù)y=x2的圖像上所有的點經(jīng)過④→②→①，得到函數(shù)的圖像；

（ⅱ）為了得到函數(shù)的圖像，可以把函數(shù)y=-x2的圖像上所有的點（ ）。

A.①→⑤→③ B.①→⑥→③

C.①→②→⑥ D.①→③→⑥

【錯因分析】由于對題目中的閱讀材料理解不到位，認為縱坐標變成原來的6倍與橫坐標變成原來的意義一樣。這是將生活感受與本題結合的錯解，從而導致第（2）小題也會出現(xiàn)類似錯誤。

【正解】（1）6，6。（2）（?。﹜=4（x-1）2-2。（ⅱ）D。