璀璨之星
——勾股定理

文王娟霞

勾股定理是人類最早發現、最基本的、應用最廣泛的一個定理，是用代數思想解決幾何問題最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。古代科學家、哲學家畢達哥拉斯和他的學派證明了勾股定理，為紀念畢達哥拉斯學派，1955 年希臘根據勾股定理設計并發行了一枚紀念郵票。勾股定理是每年中考命題的必選內容，命題形式千變萬化。現舉幾例，供同學們賞析。

一、幾何問題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）若BC=12，AC=9，求AB的長；

（2）若AC+AB=8，BC=4，求AC、AB的長；

（3）在（2）的條件下，AD=13，BD=12，求四邊形ACBD的面積。

【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理直接求出AB=15；

（2）根據條件設AC=x，則AB=8-x，利用勾股定理列方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，故AC=3，AB=5；

（3）由勾股定理的逆定理可知，△ABD是直角三角形，分別算出兩直角三角形的面積，從而得四邊形ACBD的面積為36。

【小結】直角三角形中利用勾股定理，已知任兩邊就能求第三邊，已知一邊和另兩邊的關系也能求出各邊長。

二、航海問題

例2 已知如圖2，一輪船以12 海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以9 海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口1小時后，則兩船相距（ ）。

A.25海里 B.20海里

C.10海里 D.15海里

【解析】根據s=vt，算出AB=12，AC=9，連接BC，根據勾股定理求出BC。故選D。

【思考】離開港口3h后，兩船相距多少海里？（提示：三邊同時擴大3倍。）

【小結】本題涉及方位角，同學們要能把實際問題中的角度轉化到圖形中，利用勾股定理求解。

三、“最短”問題

例3 如圖3，學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路（假設2 步為1m），卻踩傷了花草。

【解析】應走7 米路，實際走了5 米（由勾股定理得），少走了2 米，故僅僅少走了4步。

例4 編制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花架，需用沿圓柱側面繞織一周的竹條若干根，如圖4 中的A1C2B1，A2C1B2，則每一根這樣的竹條的長度最少是 。

【解析】在求解幾何體表面兩點間最短距離的問題時，通常是將幾何體表面展開，然后求展開圖中兩點之間的距離，但在展開過程中一定要弄清所要求的是哪兩點之間的距離，以及這兩點在展開圖中相應的位置。

由于竹條需要沿圓柱側面繞織一周，所以可以把圓柱側面沿棱A1B1展開，得到一個長和寬分別為a和b的矩形，如圖5 所示，對角線A1B′1的長度就是竹條的最短長度。在Rt△A1A′1B′1中，由勾股定理得

【小結】求解幾何問題時，我們通常將方體圖形轉化為平面圖形。涉及最值問題時，一般依據“兩點之間線段最短”構造直角三角形解決。

四、折竹問題

例5 在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面1米，一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為2 米，問這里水深多少？

【解析】根據題意，畫出圖形，如圖6。

設水深BC為x米，BD=AB=x+1，依據勾股定理列方程，22+x2=（x+1）2，解得x=1.5。故水深為1.5米。

【小結】首先要讀懂題意，畫出相應圖形，將實際問題轉化成數學模型，然后根據勾股定理建立方程，從而解決問題。

五、折疊問題

1.三角形中的折疊。

例6 如圖7，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，折疊△ABC使點B與點A重合，連接AD，求AD的長。

【解析】設AD=x，由折疊可知：AD=BD=x，則CD=3-x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，12+（3-x）2=x2，解得故

2.四邊形中的折疊。

例7 如圖8，折疊長方形ABCD的一邊，使點D落在BC邊上的點F處，若AB=8，AD=10。求EC的長。

【解析】根據折疊的性質及勾股定理，先求出BF=6，設EC=x，在Rt△CEF中根據勾股定理列方程，求出EC=3。

例8 如圖9，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ。

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長。

【解析】（1）根據線段垂直平分線的性質證明QB=QE；由“ASA”證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形；最后根據菱形的判定即可得出結論。（2）由題意可知OF是△ABE的中位線，則AE=2OF，又BE=2OB，∴AE+BE=2（OF+OB）=18，依據勾股定理建立方程，先求PE，再根據菱形面積的兩種求法就能得到PQ=7.5。（注：也可以根據勾股定理先求出PO，再求出PQ。）