遇等腰 多思考

文陳麗萍

等腰三角形是特殊的三角形，在三角形的知識體系中顯得尤其重要。三角形的邊、角等一些知識點在等腰三角形中得到了升華。而正因為它的特殊性，在處理具體問題時又往往會出現錯誤，其中主要的錯誤之一就是在運用分類討論的思想方法時因為分類不全而產生的錯誤。

一、邊長、角度的角色不明確

例1 （1）已知等腰三角形兩邊長分別是7cm 和9cm，求這個等腰三角形的周長。

（2）已知等腰三角形的一個外角等于140°，求這個等腰三角形各個角的度數。

【分析】在第（1）題中，長7cm 邊和長9cm 邊哪條邊是腰，哪條邊是底不明確，所以要進行分類，而且還要考慮三條線段能不能構成三角形。

在第（2）題中，等腰三角形的一個外角不確定是頂角的外角還是底角的外角，所以也要分類討論，而且如果底角不是銳角的話，也不能構成三角形。

解：（1）因為7+7＞9，9+9＞7，所以這兩種情況下都能構成三角形。

當腰長為7cm 的時候，周長為7+7+9=23（cm）；

當腰長為9cm 的時候，周長為9+9+7=25（cm）。

所以，這個等腰三角形的周長是23cm或25cm。

（2）因為這個外角是140°，所以與它相鄰的內角是40°，是一個銳角，所以可以作底角也可以作頂角。

當頂角的外角等于140°時，頂角就為180°-140°=40°，此時兩個底角都為

當底角的外角等于140°時，兩個底角都為180°-140°=40°，此時頂角就為180°-40°×2=100°。

所以，這個等腰三角形的三個內角分別為40°，70°，70°或者是100°，40°，40°。

二、線段、角的位置或者關系不明確

例2 等腰三角形一邊上的高等于另一邊的一半，求這個等腰三角形的頂角的度數。

【分析】一邊上的高位置不明確，是腰上的高還是底邊上的高？另一邊是腰還是底？如果是腰上的高，那么這條高是在三角形的內部，還是在三角形的外部？所以要分多種情況來討論。

解：第一種情況，如圖1。

第二種情況，如圖2。

第三種情況，如圖3。

第四種情況，如圖4。

綜合上述：頂角的度數是120°或30°或150°。

分類討論思想是數學中一種常見又非常重要的思想。我們在解決這類問題時，首先要確定分類的標準，做到標準統一，不重不漏，再逐類進行，分級進行；最后歸納小結得出結論。