數(shù)形結(jié)合 自然生成

文劉 佳

數(shù)與形，是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)最基本的對象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表達(dá)。我們把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題的方法叫做數(shù)形結(jié)合。很多問題，僅從代數(shù)角度考慮，很難入手，如果借助圖像的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化、形象化，給人以直觀的感受，那么很多難題都將迎刃而解。

在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，這種根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)和圖像中特殊點(diǎn)來解決代數(shù)問題的應(yīng)用非常廣泛。我們通過解決“一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根和一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交點(diǎn)的關(guān)系”“一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0，或kx+b≥0 等）的解集關(guān)系”“兩個(gè)一次函數(shù)在有交點(diǎn)的情況下比較兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系”等諸如此類的問題，逐步體會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決數(shù)學(xué)問題的便捷性。

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用也是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)。本文結(jié)合2019年南京市中考數(shù)學(xué)試卷第23題，談一談數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際解題中的應(yīng)用。

例 （2019·江蘇南京）已知一次函數(shù)y1=kx+2（k為常數(shù)，k≠0）和y2=x-3。

（1）當(dāng)k=-2 時(shí)，若y1＞y2，求x的取值范圍。

（2）當(dāng)x＜1 時(shí)，y1＞y2。結(jié)合圖像，直接寫出k的取值范圍。

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程之間的關(guān)系，一次函數(shù)圖像與k、b值之間的關(guān)系等。

問題（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函數(shù)圖像解答。

問題（2）關(guān)鍵是隨著k值的變化，熟悉y=kx（k≠0）、y=kx+b（k≠0）函數(shù)圖像的變化規(guī)律，即“實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn)”。

當(dāng)k＞0 時(shí)，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第一象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向y軸無限接近，可看成其圖像繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)k＜0 時(shí)，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第二象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向x軸無限接近，也可看成其圖像繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

y=kx+b（k≠0）的圖像可看作是把y=kx（k≠0）的圖像沿y軸平移 ||b單位后所得，隨著k值的逐漸增大，其圖像的變化與y=kx（k≠0）的圖像類似：當(dāng)k＞0 時(shí)，隨著k值的逐漸增大，y=kx+b（k≠0）位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向y軸無限接近，可看成其圖像繞點(diǎn)（0，b）作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)k＜0 時(shí)，隨著k值的逐漸增大，y=kx+b（k≠0）位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向過點(diǎn)（0，b）且平行于x軸的直線無限接近，也可看成其圖像繞點(diǎn)（0，b）作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1（k1≠0）、y2=k2x+b2（k2≠0）且b1≠b2的位置關(guān)系：當(dāng)k1≠k2時(shí)，兩直線相交；當(dāng)k1=k2時(shí)，兩直線平行。

如圖1，本題的關(guān)鍵是先求出當(dāng)x=1時(shí)，兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，-2），然后過點(diǎn)（1，0）作垂直于x軸的直線l；由y1的關(guān)系式可知該圖像經(jīng)過y軸上的點(diǎn)（0，2），設(shè)為點(diǎn)B，此時(shí)y1即為直線AB，可以求出此時(shí)k=-4。當(dāng)x＜1 時(shí)，在直線l的左側(cè)y1＞y2，所以k=-4 是符合題意的解。

如圖2，只要兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)A沿著y2的圖像向右上方移動(dòng)，即y1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得到的k值均符合題意。

如圖3，隨著k的增大，點(diǎn)A沿著y1的圖像向右上方移動(dòng)。當(dāng)k=1時(shí)，y1與y2平行，符合題意。

如圖4，當(dāng)k＞1 時(shí)，y1與y2的圖像交點(diǎn)在第三象限。當(dāng)x＜xA′時(shí)，y1＜y2，所以不符合題意。

此外，需要關(guān)注到已知條件中k≠0。

綜上分析，k的取值范圍為：-4≤k≤1且k≠0。

解：（1）當(dāng)k=-2時(shí)，y1=-2x+2。

根據(jù)題意，得-2x+2＞x-3。

（2）-4≤k≤1且k≠0。

一次函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)，我們只有在對一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)有充分理解的前提下才能根據(jù)關(guān)系式或圖形來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。在這一類函數(shù)的問題中，我們應(yīng)抓住特殊的點(diǎn)及其所表示的實(shí)際意義，從而把復(fù)雜的過程簡單化。

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中占著非常重要的分量。讓我們一起來感受它帶來的驚喜吧！