分類例說，突破一次函數應用問題的“重圍”

文張田田

專題復習：函數

領 銜 人：何君青

組稿團隊：江蘇省初中數學反思型教學課題組

一、同一個坐標系里只有一個分段一次函數

這類問題一般有三問：第一問識別圖像，例如解釋折點處的基本信息等；第二問用待定系數法確定一次函數的表達式；第三問用一次函數解決簡單實際問題。同學們需觀察一次函數圖像，細致分析題意，能將一次函數的知識與建立方程模型相結合。

例1 圖1 中的折線ABC表示某汽車的耗油量y（單位：L/km）與速度x（單位：km/h）之間的函數關系（30≤x≤120）。已知線段BC表示的函數關系中，該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km。

（1）當速度為50km/h、100km/h 時，該汽車的耗油量分別為 L/km、 L/km。

（2）求線段AB所表示的y與x之間的函數表達式。

（3）速度是多少時，該汽車的耗油量最低？最低是多少？

【分析】此題以耗油量問題為背景，以一次函數的圖像為載體，分析某汽車的耗油量y與速度x之間的函數關系，考查識圖、用圖的能力。題中自變量不同取值范圍所對應的函數表達式不同，其函數圖像是一個折線。解決分段函數問題，要與自變量所在取值范圍對應，大家要會用待定系數法求一次函數表達式，且用好“折點處”的坐標。

解：（1）0.13，0.14。

（2）設線段AB所表示的y與x之間的函數表達式為y=kx+b。

因為y=kx+b的圖像過點（30，0.15）與（60，0.12），所以

解方程組，得

所以線段AB所表示的y與x之間的函數表達式為y=-0.001x+0.18。

（3）根據題意，得線段BC所表示的y與x之間的函數表達式為y=0.12+0.002（x-90）=0.002x-0.06。

由圖像可知，B是折線ABC的最低點。

【點評】此類題型通過函數圖像及一定的文字說明作為載體來傳遞解題信息，為問題提供條件。解決這類問題的關鍵是善于從圖像的位置、特殊點及發展變化趨勢等相關信息中受到啟發，并獲取有用的信息，獲得解決問題的途徑，進行推理計算，最終解決問題。此類問題的切入口往往是對折點的解讀，所以要重視折點及折點前后的狀態。

二、同一個坐標系里有兩個一次函數

在同一個坐標系中，同一自變量有兩個不同的因變量，表示不同的一次函數，這對解題造成干擾，更考查大家對圖像的理解以及綜合分析解決問題能力。下面以一個行程問題為背景，與同學們交流。

例2 甲、乙兩地相距400 千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地。如圖2，線段OA表示貨車離甲地的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數關系；折線BCD表示轎車離甲地的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數關系。根據圖像解答下列問題：

（1）求線段CD對應的函數表達式。

（2）求E點的坐標，并解釋E點的實際意義。

（3）若已知轎車比貨車晚出發20 分鐘，且到達乙地后在原地等待貨車，則當x為多少小時，貨車和轎車相距30km？

【分析】本題考查了一次函數在行程問題中的應用。（1）求線段對應的函數表達式是常規考法，方法有兩種，一種是根據實際意義直接列出，另一種是讀取圖中數據，借助待定系數法求出表達式；（2）求E點的坐標仍有兩種方法，一種是聯立線段OA、CD的表達式求解，另一種是列一元一次方程求解追及時間（即點E的橫坐標），再代入線段CD對應的函數表達式求點E的縱坐標；（3）由“貨車和轎車相距30km”可求得多解。

解：（1）線段CD所表示的y與x之間的函數表達式為y=120x-140（2≤x≤4.5）。

（2）點E坐標為（3.5，280），點E的實際意義是當貨車行駛3.5 小時，轎車追上貨車，這時它們離甲地距離為280千米。

【點評】解決此類問題的一般方法是解讀折點、分段圖像的實際意義，結合實際行程問題，運用分類思想，正確地找出某個狀態下的速度、時間、路程，然后轉化成代數模型來解決。