布魯姆教育目標分類理論與初中數學教學設計——以“平方差公式”一課的教學實踐與反思為例

中國科學院附屬實驗學校 張 萍 北京市第十七中學 白雪峰

在數學教育中，一直困擾教育者的最常見也是存在最長久的四大基本問題：學生在寶貴的學習生活中，在有限的學習和課堂教學時間內，哪些內容是最值得學生學習的？這實際上就是學習內容的問題，也可以說是學什么或教什么的問題；如何計劃和進行教學才能使大部分學生在高層次上進行學習？這也就是教學問題的問題，或者說是怎么學或怎么教的問題；如何選擇或設計測評工具和測評程序才能提供學生學習情況的精準信息？這實際上就是測評問題，或者說是怎么考的問題；如何確保教學目標、教學過程以及測評三者彼此的一致性？這也就是一致性問題，或者說是教學的有效性的問題。應該說，布魯姆教育目標分類理論至今依然是能較好回答上述問題的成熟理論之一，因此，基于布魯姆教育目標分類理論進行教學設計是提高教學質量、促進教師專業發展的有力工具。

一、布魯姆教育目標分類學的理論基礎

教育目標分類理論源自泰勒在美國“八年研究”中的評價工作，美國著名心理學家、教育家本杰明·布魯姆（Benjamin Bloom，1913—1999）發展其思想，形成了完備的教育目標分類理論。布魯姆將教育目標分為認知、情感、動作技能3 個領域，又將認知領域分為知識、領會、運用、分析、綜合、評價6 個大類。2001 年，根據美國教育發展及評價需要，著名課程專家安德森與克拉思沃爾等聯合對布魯姆教育目標分類學進行修訂，提出新的目標分類理論和體系。該體系根據與教育目標相關性，將知識分為事實性知識、概念性知識、程序性知識和元認知知識四大類型，并根據人的認知過程和規律，將認知過程分為記憶/回憶、理解、應用、分析、評價和創造六個維度。其中，分析、評價和創造屬于發展學生高階思維的重要關注點。基于布魯姆分類表進行教學設計，能夠更加有針對性地進行教學與測評，有助于教師回答上述四大基本教學問題，同時，促進教師根據教學目標、測評和教學活動的一致性進行教學自我診斷，以更加全面地理解教學目標，有的放矢地培養學生的高階思維。

在已有研究中，大多關注學生新知習得水平的應用。然而，任何知識在其形成與應用過程中，都鮮有獨立發揮作用的情形，而總是與其他知識綜合在一起，有時，其他知識類型及其認知水平會對新知學習產生重要影響。本文擬以人教版八年級上冊第14章第2 節平方差公式第1 課時為例，基于布魯姆教育目標分類理論的指導，進行教學設計與實踐反思，期待與同行進一步探討和改進。

二、平方差公式的課時目標及其分析

教學目標的科學制定和清晰表述是教師的重要的教學基本功之一，其內容主要反映學生學習后的變化情況，并且要觀察和測量這種變化。因此，教學目標必須明確而具體。同時，教學評價設計要先于教學設計，為每一條教學目標設計相應的評價試題，以確保教學目標的制定達到導教、導學和導測評的作用。

(一)平方差公式的課時目標

《義務教育階段數學課程標準(2011 年版)》(以下簡稱《課標（2011版）》指出：“通過數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。”同時，《課標(2011 版)》提出了包括符號意識、幾何直觀、運算能力、推理能力和模型思想等在內的十個“核心詞”，要求“把數學文化融入課程內容之中”，這些內容對于發展學生的數學核心素養具有重要作用。

“平方差公式”是初中數學“整式與分式”部分的核心內容，作為學生初中階段最先接觸的重要的乘法公式之一，它既是特殊的多項式乘法，又是反映從特殊到一般認知規律的典型范例，更是對一般多項式乘法的應用、拓展和再創造。《課標(2011 版)》中明確規定：能推導乘法公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算。

一方面，從乘法公式的歷史溯源可以看出：平方差公式的產生動因是源于一類二元問題、直角三角形問題和等周長方形問題的求解以及平方運算。在16 世紀符號代數誕生之前，古人是運用幾何形式來表征公式的。另一方面，從教材編寫的邏輯來看，本節課是在學生已經學習了整式的加、減、乘、除運算，掌握了單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式等整式計算之后的學習內容，同時本節課的學習對學生學習因式分解、分式運算以及其他代數式的變形也具有非常重要的作用。

綜上所述，本節課的學習重點是對具有“特殊結構特征”的算式的歸納總結、概括提煉和應用理解，滲透并強化整體思想，建立數學的結構意識。基于教學實踐可以發現，由于學生已有多項式乘法的學習基礎，所以僅從知識層面來講，本部分內容的難度并不大。學習“平方差公式”的重要意義主要體現在“特殊與一般”之間的歸納與演繹的推理思維方法的認識、理解和內化，是學生進行學習遷移以及構建高階思維的重要載體。

基于以上分析，我確定本節課的總體教學目標是促進學生學習乘法公式的遷移能力的提高，具體課時目標制定如下：

第一，能夠用自己的語言說出平方差公式的幾何背景和文化背景，能夠基于歷史上的等周問題認識到平方差公式的必要性、簡潔性和便捷性；能夠闡釋平方差公式的結構特征及各個字母的意義，強化符號意識；

第二，能夠探索證明平方差公式的方法，并能運用平方差公式進行直接計算，初步進行平方差公式與加法、乘法的混合運算，提高數學計算和推理能力；

第三，體會從特殊到一般、從具體到抽象的探索問題的基本思維方法，感受數形結合的思想方法以及知識之間的聯系和公式實際價值。

（二）平方差公式的知識目標分析

下面，我依據布魯姆教育目標分類理論提出的4 種知識類型和6 個認知層次水平將上述目標進行編碼，可以形成以下分類表達：

目標1——理解事實性知識目標：理解平方差公式幾何背景和文化背景、公式命名的合理性、平方差公式和公式結構特征之間的關系（1—0），評價公式的簡潔性和便捷性（1—1）；

目標2——分析概念性知識目標：經歷平方差公式探索和推導過程，分析代數與幾何之間的關系，進而得出公式的幾何解釋（2—0）；

目標3——應用程序性知識目標：根據題目特點，應用、選擇、評價和構造平方差公式進行直接計算、混合運算等（3—0/1/2/3）；

目標4——分析、評價、創造元認知知識目標：經歷平方差公式的得出與應用，體會從一般到特殊、從具體到抽象的探索問題的方法和數形結合的思想，發展符號意識和推理能力，感受知識之間的聯系和公式實際價值，獲得成功的喜悅，增強學習數學的興趣和信心（4—0/1/2）。

上述各目標在分類表中對應位置如表1 所示。

表1 《平方差公式》一課教學目標在分類表中的位置

（三）平方差公式一課的教學過程設計

荷蘭數學家和數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990）曾說過：“沒有哪一種數學思想是以被發現的方式發表的。如果一個問題得到了解決，人們就會開發和運用技術，將解法顛倒過來……從而將火熱的發明變成冰冷的美麗。”教師需要從學習者的角度去看公式教學，從知識發生、發展、生長的角度去看公式教學，通過恰當的引入將火熱的發現在課堂上還原、再現。“平方差公式”一課屬于典型的公式教學，公式教學一般可以分為三部分：即公式發現、驗證、應用。

基于以上分析，本節課共設計了6 個教學活動，分別是：提出問題，確定對象；數形結合，突破難點；公式辨析，提升認知；應用強化，突出重點；拓展延伸，發展思維；總結提升，深化理解。

活動1 和活動2 主要聚焦公式的發現過程。我借助教材上的練習，讓學生對一般二項多項式乘法逐步特殊化，猜想得到平方差公式和完全平方公式；在公式驗證中，引導學生遷移之前的方法，從“數”和“形”兩個角度對其中一個公式進行證明和驗證。該環節既是對多項式乘法的進一步鞏固應用，又是對利用幾何驗證公式的再發展，實現對舊知的從低階思維到高階思維水平的發展。

公式的幾何解釋既是本節教學難點，也是發展學生高階思維的重要載體。到底是直接給出圖形讓學生由“圖形解釋公式”，還是讓學生直接構造幾何圖形證明公式？提出問題的目標定位不同，需要學生思考完成的任務體驗當然也不同，學生因此所獲得的思維發展完全是不同的兩個層級。為了發展學生的高階認知思維，我選擇了后者，也就是請學生基于對平方差公式結構特征的全面認識和深度分析，親歷通過幾何圖形構造進行公式證明（或解釋）的全過程。

在本環節中，根據課堂上學生學習情況的反饋，可以看到：學生的認知難點確實是如何構造一個幾何圖形來解釋公式的等號左右兩邊是相等的。因此，在本環節具體實施過程中，我結合不同班級的學情，將問題進行了解構，以此來突破教學難點：

問題1：請你分別構造兩個幾何圖形，并用幾何圖形的面積表達平方差公式中等號左右兩邊的代數式；

問題2：請你進一步觀察所構造的兩個幾何圖形及其面積表達式，并用數學語言解釋公式等號左右兩邊的代數式是相等的。

事實上，平方差公式的幾何背景（幾何解釋）屬于概念性知識，教師借助恰當的問題驅動學生進行深度思考和操作感知，以使學生的認知水平達到分析和創造的層級。在這一學習過程中，雖然利用的是代數式的幾何圖形解釋這一舊知，但卻是新知學習過程中舊知在認知水平的新發展，充分體現了知識之間的相互聯系以及學生認知水平的螺旋上升過程。

在活動3 中，我設計了區別于以往教學中直接給出公式名稱，明晰公式結構特征的一般教學活動，而是讓學生嘗試著給公式命名，同時，請學生相互評價公式命名的合理性，通過構造有深度的對話性問題使事實性知識達到分析、評價、創造的高階認知水平。

活動4 主要聚焦公式的應用，強化學生對平方差公式的認識。我設計了4 組練習，由簡單到復雜、由可用到不可用、由正用到逆用、由一般應用到巧妙應用，以使程序性知識最終達到分析、評價和創造的水平。

本節課中活動5 的拓展延伸，通過呈現貼近學生的情境引入，借助歷史上的等周問題激活學生已有探究經驗，通過數形結合發展學生高階思維。而在活動6 的課堂小結活動中，我給出了一系列對話式和反思性的問題，以達到引導學生回顧學習過程，梳理平方差公式學習研究的一般路徑，提煉基本活動經驗的學習目標。同時，通過明確下一階段的研究課題和思路，強調方法梳理遷移和知識之間的內在聯系，以此引領學生將公式納入整式乘法的知識體系，體悟知識之間的內在聯系，達到整體把握學習內容的深層教學目標，旨在促進學生將所學的知識條理化和系統化，在共享集體思維成果的基礎上達到對當前所學知識形成比較全面和系統的理解，最終完成對所學知識的意義建構以及研究方法、研究思路的再繼承，實現元認知知識高階水平的發展。

三、教育目標分類理論對于知識學習過程的意義

基于布魯姆教育目標分類理論進行教學設計，能夠幫助教師從學生學習的視角審視教學目標制定、表達和實現，促進教師更加透徹地理解學生的學習，認清知識與認知過程之間的內在關系。布魯姆教育目標分類理論指導下的教學設計更加關注知識之間的聯系：知識不是割裂的，不管是同一課時的知識還是整個單元整個學科的知識。任何知識在其形成與應用過程中，都鮮有獨立發揮作用的情形，而總是與其他知識綜合在一起，而且已有知識類型及其認知水平會對新知學習產生重要影響。同一知識在不同階段所要求達到的認知層級是有差異的，是逐漸由低級走向高級，呈現螺旋上升的態勢，而學生思維的發展亦是螺旋型向上的，從低層次向高層次不斷發展。因此，學生高階思維的形成和發展應以低階思維為基礎，同時，高階思維反過來又促進和帶動低階思維由低水平向高水平發展。

基于布魯姆教育目標分類理論進行教學設計，能夠幫助教師正確判斷知識類型，準確把握教學過程對于知識的認知要求。從而，更加有針對性地對目標進行教學活動設計和效果評測；為學生高階思維的培養搭設階梯，通過問題設計，教師引導學生走向認知的高階，由被動地接受轉化為主動的猜想、分析、評價、創造；同時為課堂教學方式的轉變和學生學習方式的轉變提供更多可能。教學各個環節設計突出元認知類知識，重在發展學生高階思維。在“平方差公式”第一課課時的教學設計中，各環節突出發展學生高階思維的問題舉例 如下：

問題1：請你試著給這個公式取一個名字。你認為公式命名為“平方差公式”合理嗎？為什么？——事實性知識達到分析、評價、創造水平。

問題2：你能從哪些角度驗證這個式子？請你完成驗證。——概念性知識（舊知）在新情境達到分析、創造水平。

問 題3：計 算102×98 和101× 97。——程序性知識達到分析、評價、創造水平。

問題4：請回顧本節課的學習過程，給你留下印象最深的內容或環節是什么？為什么？針對課前尚未探究的猜想，你打算如何探究？談談你的想法和經驗。——元認知知識達到分析、評價、創造水平。

上述問題的設計意圖就是希望在后續學習完全平方公式時，可以讓學生自主設計研究方案，開展自主學習探究，以實現知識和方法的遷移，達到思維的高階發展。

當然，基于布魯姆教育目標分類理論進行教學設計，也存在著一些問題，如教材內容按知識類型分類時，有些知識與知識之間并未有嚴格而清晰的界限。然而，教學有法，而教無定法，因材施教，貴在得法。教師不能完全受限于分類表，而應該靈活變通，結合教與學的實際情況，基于新時代中學數學課堂教學變革與改進的新形勢和新要求，更好地發揮布魯姆教育目標分類理論實踐指導價值。