一次方程（組）解法例析

文 唐榮喜

一次方程（組）是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，利用一次方程（組）的知識(shí)解決問題在中考中屢見不鮮。該類試題在解法上除了列方程（組）直接求解外，還出現(xiàn)了代數(shù)式變形求值、設(shè)輔助元、不定方程求整數(shù)解等，考查了同學(xué)們靈活變通的能力。

一、列方程組直接求解

例1（2019·四川樂山）《九章算術(shù)》第七卷“盈不足”中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”譯為：“今有人合伙購(gòu)物，每人出8 錢，會(huì)多3 錢；每人出7錢，又差4錢。問人數(shù)、物價(jià)各多少？”根據(jù)所學(xué)知識(shí)，計(jì)算出人數(shù)、物價(jià)分別是（ ）。

A.1，11 B.7，53

C.7，61 D.6，50

【解析】設(shè)有x 人，物價(jià)為y 錢，根據(jù)題意得解得故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于常見的盈余問題，等量關(guān)系較為明顯，根據(jù)題中的等量關(guān)系可以輕易列出方程，進(jìn)而解決問題。

二、求不定方程的整數(shù)解

例2（2019·江蘇鹽城）體育器材室有 A、B 兩種型號(hào)的實(shí)心球。1 只 A 型球與 1 只 B 型球的質(zhì)量共 7 千克，3 只 A型球與1只B型球的質(zhì)量共13千克。

（1）每只A 型球、B 型球的質(zhì)量分別是多少千克？

（2）現(xiàn)有A 型球、B 型球的質(zhì)量共17千克，則A型球、B型球各有多少只？

【解析】（1）每只A 型球3 千克，每只B型球4千克（過程略）。

（2）設(shè)A型球有a只，B型球有b只。

則3a+4b=17，因?yàn)閍、b都是正整數(shù)，所以可求得a=3，b=2。

答：A型球有3只，B型球有2只。

【點(diǎn)評(píng)】本題中第二問設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，只能列一個(gè)方程，但考慮到a、b均為正整數(shù)，故通過求不定方程的整數(shù)解可以解決問題。

三、代數(shù)變形，整體求值

例3（2019·浙江寧波）小慧去花店購(gòu)買鮮花，若買5 支玫瑰和3 支百合，則她所帶的錢還剩下10 元；若買3支玫瑰和5 支百合，則她所帶的錢還缺4 元。若只買8 支玫瑰，則她所帶的錢還剩下（ ）。

A.31元 B.30元

C.25元 D.19元

【解析】設(shè)一支玫瑰x元，一支百合y元，小慧帶了z元，根據(jù)題意得：

【點(diǎn)評(píng)】本題列方程組較為簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是對(duì)方程進(jìn)行變形，根據(jù)變形后的等式可求出實(shí)際問題的解。

四、設(shè)輔助元求解

例4（2019·重慶）在精準(zhǔn)扶貧的過程中，某駐村服務(wù)隊(duì)結(jié)合當(dāng)?shù)馗呱降匦危瑳Q定在該村種植中藥材川香、貝母、黃連，增加經(jīng)濟(jì)收入。經(jīng)過一段時(shí)間，該村已種植的川香、貝母、黃連面積之比為4∶3∶5。根據(jù)中藥材市場(chǎng)對(duì)川香、貝母、黃連的需求量，將在該村余下土地上繼續(xù)種植這三種中藥材，經(jīng)測(cè)算需將余下土地面積的種植黃連，則黃連種植總面積將達(dá)到這三種中藥材種植總面積的為使川香種植總面積與貝母種植總面積之比達(dá)到3∶4，則該村還需種植貝母的面積與該村種植這三種中藥材的總面積之比是_______。

【解析】設(shè)該村土地總面積為a 畝，該村已種植的川香、貝母、黃連面積分別為 4k 畝、3k 畝、5k 畝，根據(jù)題意得 5k+解得 a=20k。在余下的土地（20k-9.5k-4k-3k）畝中，再令種植貝母x 畝，根據(jù)題意，得（4k+3.5k-x）∶（3k+x）=3∶4，解得x=3k。故該村還需種植貝母的面積與該村種植這三種中藥材的總面積之比是

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們首先要讀懂題目。其次，巧妙地設(shè)輔助元k，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它能幫助我們快速理清題意。然后再通過兩個(gè)方程，分別求得還需種植貝母的面積、種植三種中藥材的總面積分別為3k、20k，從而求出比值。