抓住本質 巧妙求解

文 晏曉清

教材在“二元一次方程組”這章里重點介紹了代入消元法和加減消元法，其特點都是消去其中的一個未知數，使“二元”變成“一元”，進而把二元一次方程組的問題變成一元一次方程的問題來解決。事實上，除了這兩種方法，針對二元一次方程組本身的特征，我們還可以靈活運用下面的方法，對方程組進行巧妙變形，這樣往往可以化繁為簡，簡化過程，起到事半功倍的效果。不過，不管我們用哪一種方法，其本質都是“消元”。只有把握了這一本質，我們對解方程組才算真正融會貫通。

一、整體代入法

例1解方程組：

【分析】我們注意到兩個方程中都有x-y，便可以把x-y 作為一個整體來加以考慮。因此，只要把①化為x-y=1，代入②，就達到了消去x 的目的，從而簡化了求解過程。

解：由①得x-y=1，③

將③代入②得 4·1-y=5，解得 y=-1。把y=-1 代入③，得x=0。所以原方程組的解為

【點評】整體代入法的要點在于根據方程組的特點，把方程中的某一個式子看作一個整體，通過代入的方法達成消元的目的。這樣求解既方便又簡化計算。

二、整體加減法

例2解方程組

【分析】因為①和②的未知數x 和y 的系數正好對調，因此可以用兩個方程整體相加或相減的方法來求解。

解：①+②得5x+5y=10，即x+y=2，③

②-①得x-y=-2，④

【點評】整體加減法是將各方程等號左邊的相加或相減，同時右邊的也相加或相減，得到一個未知數系數簡化了的方程組，這樣計算就非常簡便。

三、換元法

例3解方程組：

【分析】注意到①和②的等號左邊都有因此可以先把這兩個代數式換成其他字母，這時得到的新的方程組就簡潔明了了。

解：設則原方程組可化為解這個方程組得所以再解這個方程組，得原方程組的解為

【點評】如果看到兩個方程的某一部分相同，我們可以用一個或兩個字母來代替方程中相同的式子，先解出新字母的值，再將新字母的值代入原式子中，求出未知數的值。

四、參數法

例4解方程組

【分析】通過觀察我們發現①是比例式，可以直接令①等于一個參數，用參數表示出兩個未知量，然后代入②求解即可。

解：設所以x=2λ-4，y=3λ-2，將 x、y 代入②，得 λ=1，易得原方程組的解為

【點評】當方程組中的一個方程是比例式時，我們可以引進參數，利用這個參數來表示未知數，然后代入另外一個方程中，先求出這個參數的值，再求出這個方程組的解，這種方法可以化繁為簡。

五、對稱法

例5解方程組

【分析】這個方程組形式上很對稱，即把其中一個方程①的x、y 互換即可得到另一個方程②，也就是說，兩個方程其實是等價的。根據方程的對稱性，可令x=y。

解：令x=y，原方程組變成可得原方程組的解為

【點評】對稱法解二元一次方程組的依據是，方程組對應的未知數具有對稱關系，即兩個未知數調換順序后二元一次方程組并未發生改變，此時可以將其中某個方程換成x=y。

六、消常數法

例6解方程組

【分析】觀察到它的兩個常數項都是33，所以可以考慮先消去常數項，求出x 與y之間的簡單關系，再代入求解。

解：①-②得，x=-2y，③

把③代入②得，y=-1，則x=2。

【點評】當兩個方程的常數項相等或互為相反數或構成倍數，可以考慮先消去常數項，得到x與y的簡單關系，再代入原方程組進行求解，這就是消去常數法的精華所在。