基于快速傅里葉變換的有限差分方法求解三維反應擴散方程

摘要：基于快速傅里葉變換求解齊次Neumann邊界條件下的三維非線性反應擴散方程，應用有限差分方法給出二階中心差分格式，利用Kronecker積的性質將三維拉普拉斯算子的微分矩陣進行對角化處理，得到相對應的特征值與特征向量;在時間離散上采用Crank-Nicolson方法，并采用Picard迭代求解離散得到的非線性代數(shù)方程組。結果發(fā)現(xiàn)，利用快速傅里葉變換求解Allen-Cahn方程，隨著時間推移，顯示出解從初始狀態(tài)、過渡層、亞穩(wěn)態(tài)進而到達到穩(wěn)態(tài)的演化過程。最后，給出數(shù)值算例，驗證了所用方法求解三維反應擴散方程可在保持精度的同時，減少存儲量，并可大幅度降低計算時間。

關 鍵 詞：反應擴散方程; 有限差分; Crank-Nicolson方法; 快速傅里葉變換

中圖分類號：O241.82 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673－5862.2023.01.012

Finite difference method based on fast Fourier transform for solving three dimensional reaction diffusion equation

ZHANG Rongpei1， LIU Hao 2， ZUO Hanxing3

（1. School of Mathematics and Systematic Sciences， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China;

2. Advanced Manufacturing College， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China ;

3. School of Preschool and Primary Education， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：To solve the three-dimensional nonlinear reaction-diffusion equation under homogeneous Neumann boundary conditions based on Fast Fourier transform（taking Allen Cahn equation as an example）， the second order central difference scheme is given by using the finite difference method. The differential matrix of the three-dimensional Laplace operator is diagonalized by using the properties of Kronecker product， and the corresponding eigenvalues and eigenvectors are obtained; Crank Nicolson method is used for time discretization， and Picard iteration is used to solve the discretized nonlinear algebraic equations. It is found that the three-dimensional reaction-diffusion equation shows the evolution process from the initial state， the transition layer， the metastable state to the steady-state solution with the passage of time. Finally， an example is given through numerical experiments. Using the finite difference method of fast Fourier transform to solve the three-dimensional reaction-diffusion equation can not only maintain the accuracy and simplicity， but also reduce the storage and calculation time.

Key words：reaction diffusion equation; finite difference; Crank-Nicolson method; fast Fourier transform

3 數(shù)值實驗

本節(jié)分為2個部分，主要進行齊次Neumann邊界條件下的三維Allen-Cahn方程的穩(wěn)定性檢驗實驗和精確解的精度測試實驗。為了便于后文敘述，在2個數(shù)值實驗中，令hx=hy=hz=h，應用本文提出的有限差分法求解下面的數(shù)值算例。

3.1 精確解的精度測試

為了對收斂速度進行精確的定量估計，本文在齊次Neumann邊界條件下分別對4組較細的網(wǎng)格、5組不同時間的初始問題進行多次模擬。利用本文提出的FFT方法的有限差分方法，在均勻的網(wǎng)格和時間步長上進行數(shù)值計算。選取初值為u0（x，y，z）=cos（πx）+cos（πy）+cos（πz），時間步長為Δt=10-3s，網(wǎng)格步長N分別取8，16，32和64，時間t分別取0， 0.1， 0.2和0.6 s。表1給出了齊次Neumann邊界條件下精確解的誤差精度。從表1可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)FT方法確實在時間上具有二階精度，同時準確地反映了本文方法能得到收斂性較低的精確解的優(yōu)點。

3.2 精確解的精度測試

初值條件選取為u0（x，y，z）=exp（cos（1.5πx）cos（1.5πy）sin（πz）sin（2πz）），網(wǎng)格步長為64，計算區(qū)域Ω=［-1，1］3，針對具有齊次Neumann邊界條件的方程（1）進行求解。時間離散步長為Δt=10-3，對不同的時間點t進行數(shù)值模擬。

在齊次Neumann邊界條件下，隨著時間t的推移，[JY]圖1分別顯示了三維反應擴散方程的解從初始狀態(tài)到過渡層，再到亞穩(wěn)態(tài)，最后到達穩(wěn)態(tài)的演化過程。從圖1中可以看到，解初始狀態(tài)到亞穩(wěn)態(tài)是個快速動態(tài)過程，并在亞穩(wěn)態(tài)中形成了2個過渡層。圖1（b）和圖1（c）表明初始狀態(tài)下的分層較多，過渡層中的2個界面在相分離的情況下，自由邊界條件不太嚴格，進而實現(xiàn)速度更快，為后面達到穩(wěn)定狀態(tài)奠定了良好的基礎;圖1（b）表明在Neumann邊界條件下，在t=0.1 s時，解處于過渡層;圖1（c）表明在t=0.2 s時，解處于亞穩(wěn)態(tài);圖1（d）展示了在求解Allen-Cahn方程的過程中，在t=0.8 s時，解就迅速形成了穩(wěn)態(tài)。

4 結 語

本文給出了齊次Neumann邊界條件下三維反應擴散方程的一種新的線性化有限差分格式。由于FFT方法能夠快速地求解經過離散得到的非線性代數(shù)方程組，故在提高計算效率的同時也大大節(jié)省了計算時間。通過求解方程，可以發(fā)現(xiàn)隨時間推移數(shù)值結果形狀的變化規(guī)律，即隨時間推移，初始狀態(tài)、過渡層、亞穩(wěn)態(tài)進而達到穩(wěn)態(tài)的解的演化過程。本文的處理方法在保持精度和簡潔性的同時，大大降低了算法的復雜度，使得程序運算時間明顯縮短，對于進行長時間尺度動力學模擬具有重要意義。

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收稿日期：2022－11－18

基金項目：遼寧省自然科學基金資助項目（20180550996）。

作者簡介：張榮培（1978—），男，山東泰安人，廣東工業(yè)大學副教授，博士;

通信作者：劉 昊（1995—），男，寧夏吳忠人，沈陽師范大學在讀碩士研究生。