基于超混沌系統(tǒng)和離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的圖像加密算法*

周 玲，周 穎，潘書敏，蔡景素

(1.廣西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院能源動(dòng)力與發(fā)電工程系，廣西南寧 530007；2.南昌大學(xué)信息工程學(xué)院電子信息工程系，江西南昌 330031)

0 引言

混沌系統(tǒng)因?yàn)閷?duì)初始條件以及系統(tǒng)參數(shù)具有高敏感性、偽隨機(jī)性和非線性等重要特征而被普遍應(yīng)用于各種保密通信系統(tǒng)。基于混沌系統(tǒng)的各種圖像加密算法不斷地被提出[1-3]。相對(duì)于低維的混沌系統(tǒng)而言，高維的混沌系統(tǒng)復(fù)雜程度更高，且存在李雅普諾夫指數(shù)，具有更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為和高隨機(jī)性，能夠很好地增加圖像加密系統(tǒng)的安全性能[4-13]。Ye[4]通過將Toeplitz矩陣和Hankel矩陣相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的加密，并且利用Chen氏混沌系統(tǒng)理論對(duì)圖像的灰度值進(jìn)行擴(kuò)散，以加強(qiáng)系統(tǒng)的保密性。Gao等[5]利用超混沌系統(tǒng)混淆明文與密文之間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)圖像加密。隨后，將該系統(tǒng)基本的動(dòng)力學(xué)特征經(jīng)過Lyapunov指數(shù)和特征方程改進(jìn)，使得系統(tǒng)中的參數(shù)可調(diào)[6]。Gao等[7]又將超混沌系統(tǒng)與神經(jīng)細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合用于圖像認(rèn)證，將圖像像素值用HCCNN傳輸，從而產(chǎn)生秘密信息用于身份驗(yàn)證。Zhu等[8]設(shè)想了結(jié)合中國剩余定律的超混沌系統(tǒng)加密方法，先通過超混沌系統(tǒng)對(duì)圖像的像素進(jìn)行置亂，再用中國剩余定律對(duì)置亂的結(jié)果實(shí)行擴(kuò)散、壓縮，實(shí)現(xiàn)圖像的加密。Hermassi等[9]對(duì)超混沌圖像加密系統(tǒng)進(jìn)行加強(qiáng)，顯著地提高系統(tǒng)的加密速度。Zhu[10]對(duì)超混沌序列的圖像加密方案做了改進(jìn)，此算法將超混沌序列和明文信息的正確密鑰同時(shí)加密，增加密鑰的復(fù)雜度。秦怡等[11]在一種改進(jìn)的光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)加密系統(tǒng)中，利用附加密鑰旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)多幅二值圖像的加密。Pan等[12]聯(lián)合非線性分?jǐn)?shù)梅林變換和離散余弦變換，提出光學(xué)多圖像加密方案，Zhou等[13]在此基礎(chǔ)上基于共稀疏表示和隨機(jī)像素交換，提出雙圖像壓縮加密算法。本文聯(lián)合超混沌系統(tǒng)和離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換，提出一種圖像加密新方案，與單純的離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的圖像加密算法相比，在不增加計(jì)算負(fù)擔(dān)的情況下，本算法的明文與密文之間具有更高的復(fù)雜性，并加大了密鑰空間，提高了密鑰敏感性,同時(shí)給出了實(shí)現(xiàn)該算法的光學(xué)裝置原理圖。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 超混沌系統(tǒng)

Chen氏超混沌系統(tǒng)的定義如下：

(1)

其中a,b,c,d和k是超混沌系統(tǒng)的參數(shù)。當(dāng)參數(shù)a=36,b=3,c=28,d=-16,-0.7

1.2 離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換

一維信號(hào)x的離散隨機(jī)變換表示為

Rα(x)=Rαx,

(2)

其中，Rα(x)是x的離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換結(jié)果，α是變換階次。離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的核矩陣為Rα：

Rα=MFαMt,

(3)

其中M是本征向量矩陣，MMt=I。Fα是隨機(jī)變換本征值的對(duì)角矩陣，即

(4)

其中T是離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的周期。核矩陣Rα是隨機(jī)變換的核心，它由一個(gè)對(duì)稱隨機(jī)矩陣W來控制，矩陣W由N×N的隨機(jī)矩陣B生成。

(5)

因?yàn)锽是隨機(jī)的，所以Rα具有隨機(jī)性，不同的矩陣B對(duì)應(yīng)不同的變換結(jié)果。

2 圖像加密算法

2.1 加密過程

本文根據(jù)Chen氏理論，利用超混沌系統(tǒng)生出的混沌序列，來控制隨機(jī)變換中的隨機(jī)矩陣B，從而實(shí)現(xiàn)圖像加密。該算法的詳細(xì)加密過程描述如下：

步驟1：選擇混沌系統(tǒng)的初始條件x0,y0,z0,h0,使用Runge-Kutta方法迭代Chen氏超混沌系統(tǒng)n0=22n次，得到4個(gè)超混沌序列{ti|i=1,2,…,2n}，t分別為x,y,z和h。

(6)

步驟4：將步驟3中的混沌序列構(gòu)建的隨機(jī)矩陣B代入上式(5)，得到對(duì)稱隨機(jī)矩陣W。用數(shù)值計(jì)算的方法求出W正交化和歸一化后的本征矩陣M。結(jié)合式(2)、(3)和(4)獲得隨機(jī)變換的結(jié)果，即加密圖像。

本算法的密鑰包括Chen氏超混沌系統(tǒng)的4個(gè)初始值(x0,y0,z0,h0)以及離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的階次α。解密過程使用的密鑰與加密時(shí)使用的密鑰完全一致。

2.2 光學(xué)實(shí)現(xiàn)原理

離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換可以利用傅里葉變換域中的隨機(jī)相位濾波在一個(gè)典型的4f系統(tǒng)中進(jìn)行光學(xué)實(shí)現(xiàn)[14]，相應(yīng)的加密光學(xué)裝置如圖1所示。在輸入平面以及傅里葉頻譜面上分別擺放互相不關(guān)聯(lián)的隨機(jī)相位模板，通過相位模板完成對(duì)輸入的圖像加密，在輸出的平面上即可獲得加密的圖像。相應(yīng)的隨機(jī)反變換可以通過隨機(jī)相位復(fù)共軛過濾器與傅里葉反變換實(shí)現(xiàn)。

圖1 加密方案光學(xué)實(shí)現(xiàn)原理圖

Fig.1 Optical implementation devices of the proposed image encryption scheme

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本方案選取尺寸為256×256像素的灰度圖像“Lena”“Man”和“Lake”作為測(cè)試圖像，如圖2所示。在加密過程中，Runge-Kutta方法所用步長定為0.001，Chen氏系統(tǒng)4個(gè)初始值x0,y0,z0,h0分別設(shè)為0.3,0.4,0.5,0.6，離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的階次α為0.2。加密圖像如圖2d、e和f所示，解密圖像如圖2g、h和i所示。實(shí)驗(yàn)解密得到的“Lena”“Man”和“Lake”圖像與原圖像間的MSE值分別為3.336 7×10-26，2.501 4×10-26和3.228 4×10-26。仿真結(jié)果顯示MSE值非常小，表明該算法的解密圖像的質(zhì)量較高。

3.1 相鄰像素間的相關(guān)性

相關(guān)性系數(shù)的定義為

(7)

圖3為測(cè)試圖像“Lake”及其密文圖像相鄰像素間的相關(guān)性分布圖，測(cè)試圖像“Lena”和“Man”也具有相類似的結(jié)果。表1列出測(cè)試圖像“Lena”“Man”和“Lake”及其加密圖像在水平、豎直、對(duì)角3個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)。表1中的結(jié)果表明：原圖像在不同方位上相鄰像素之間均具有較大的相關(guān)性，加密圖像在水平、豎直和對(duì)角方向上的相鄰像素間的相關(guān)性顯著降低，因此很難由少量的圖像信息恢復(fù)出原明文的信息。

圖2 圖片測(cè)試結(jié)果

圖3 水平方向相鄰像素間的相關(guān)性

表1 相鄰像素間相關(guān)系數(shù)

Table 1 Correlation coefficient pixels

CorrelationHorizontalVerticalDiagonal"Lena"0.957 90.927 80.897 4Encrypted "Lena"0.226 50.100 20.013 3"Man"0.929 10.911 40.888 2Encrypted "Man"0.195 00.047 2-0.005 8"Lake"0.935 80.941 90.902 0Encrypted "Lake"0.360 30.156 0-0.010 1

3.2 密鑰敏感性分析

一般可以用均方誤差函數(shù) (Mean Square Error，MSE)來權(quán)衡解密圖像的質(zhì)量，其定義如下：

(8)

其中，L×H表示圖像總像素?cái)?shù)，I(x,y)和D(x,y)分別為原文和密文在坐標(biāo)(x,y)處的像素值。MSE值低，說明解密圖像的質(zhì)量好；MSE值高，表明原圖像和解密圖像之間的差別大，解密圖像的質(zhì)量差。

圖4是當(dāng)密鑰有微小改變時(shí)的解密“Lena”圖，其中圖4a是其他密鑰都正確的情況下使用α=0.195得到的解密圖；圖4b-e為其他密鑰均正確時(shí)，只使用有偏差的超混沌初始值x0=0.3+10-15，y0=0.4-10-15，z0=0.5+10-15，h0=0.6-10-15的解密后的圖像。結(jié)果表明：雖然密鑰偏差非常小，但是仍然無法解密得到任何關(guān)于原始圖像的信息。

圖4 錯(cuò)誤密鑰解出的“Lena”圖

Fig.4 Decryption "Lena" with error key

圖像加密性能的另一個(gè)評(píng)價(jià)因素是密鑰空間的大小。在該算法中，隨機(jī)變換的分?jǐn)?shù)階次α和系統(tǒng)的4個(gè)初始值x0,y0,z0和h0被當(dāng)作主要密鑰。計(jì)算密鑰空間大小的表達(dá)式為

(9)

其中Sj是第j個(gè)子密鑰空間。

圖5a是隨機(jī)變換的分?jǐn)?shù)階次α的均方誤差曲線，正確的分?jǐn)?shù)階次是0.2。曲線的變化趨勢(shì)體現(xiàn)了解密圖像的質(zhì)量隨分?jǐn)?shù)階次變化而變化的情況，當(dāng)α的數(shù)值發(fā)生一定程度的偏差，均方誤差就會(huì)急劇上升。圖5b和c分別是混沌系統(tǒng)初始值x0和h0的均方誤差曲線(y0和z0結(jié)果類似)，顯然，當(dāng)初始值發(fā)生微小改變時(shí)，曲線的變化很明顯。由圖4可知，混沌系統(tǒng)初始值偏離正確密鑰10-15時(shí)已無法獲取明文信息，說明該算法的密鑰敏感性非常高，具有較強(qiáng)的安全性。由此可以總結(jié)出該加密算法具有很強(qiáng)的抵抗暴力攻擊的能力。

3.3 抗噪聲分析

假設(shè)加密圖像C受到噪聲污染后為C′，即

C′=C+kG,

(10)

其中k為噪聲強(qiáng)度系數(shù)，G為零均值、單位標(biāo)準(zhǔn)差的高斯白噪聲。

圖6a是在不同強(qiáng)度噪聲污染下的解密圖像的均方誤差變化曲線。圖6b-g分別是對(duì)應(yīng)噪聲強(qiáng)度系數(shù)為1，5，10，15，20和25的解密圖像。結(jié)果表明，隨著噪聲強(qiáng)度系數(shù)增大，解密圖像的質(zhì)量相應(yīng)地降低，但是當(dāng)k=25時(shí),依然可以清晰地辨別出原始圖像的主要信息。經(jīng)過加密的圖像信息，在噪聲污染程度不高的情況下，仍能獲得質(zhì)量較好的解密圖像，因此該算法具有一定的魯棒性。

圖5 MSE曲線

3.4 抗剪裁性分析

由于外界傳輸故障等原因，圖像在傳輸過程中可能部分密文信息被丟失。圖7a橫裁圖像中間部分，圖7b豎裁圖像中間部分，圖7c隨機(jī)對(duì)圖像剪裁一個(gè)三角形，圖7d剪裁圖像的4個(gè)角，圖7e-h分別是對(duì)應(yīng)的解密圖像。解密后的圖像比較模糊，但是仍然可以辨別出原始圖像的大致信息，說明本加密算法具有一定的抗剪裁攻擊能力。

圖6 噪聲攻擊結(jié)果

圖7 抗剪裁性測(cè)試結(jié)果

4 結(jié)論

本文結(jié)合超混沌系統(tǒng)和離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換，提出了一種圖像加密新方案，并給出了實(shí)現(xiàn)該算法的光學(xué)裝置原理圖。研究結(jié)果表明

(1)與單純的離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換的圖像加密算法相比，在不增加計(jì)算負(fù)擔(dān)的前提下，本算法明文與密文之間具有更高的復(fù)雜性，并加大了密鑰空間。

(2)該系統(tǒng)是一個(gè)非線性的密碼系統(tǒng)，消除了傳統(tǒng)加密系統(tǒng)中因?yàn)榫€性過程而存在的不安全因素，提高了加密系統(tǒng)的抗攻擊能力。

(3)本文分別從相鄰像素間的相關(guān)性、密鑰的敏感性、噪聲攻擊以及裁剪攻擊等4個(gè)方面對(duì)該算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果表明該算法具有較高的安全性，能夠有效抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊、噪聲攻擊以及剪裁攻擊。