平行四邊形的翻折問題

張俊峰

翻折問題在初中幾何的考查中是比較常見的一類題型。近幾年全國各地的數學中考試題中，翻折類問題屢見不鮮。這類問題立意新穎，構思巧妙，很好地考查了同學們的識圖能力以及靈活運用數學知識解決問題的能力。由于條件和問題的不同，這類題的解法思路也不盡相同。現以2019年一些地區中考中的這類題型為例，談談如何用我們學過的知識和方法來解答這類問題。

例1 （2019·江蘇揚州）將一個矩形紙片折疊成如圖1所示的圖形，若∠ABC=26°，則∠ACD=________。

【分析】延長DC到E，如圖2，依據兩直線平行，內錯角相等，可得∠BCE=∠ABC=26°，根據翻折變換的性質得∠BCA=∠BCE=26°，進而根據平角的定義得∠ACD=180°-26°-26°=128°。

答案：128°。

拓展練習 將一張矩形紙片折疊成如圖3所示的圖形，若AB=6cm，則AC=_____cm。

【分析】延長矩形的邊，如圖4，由平行線的性質得∠1=∠ACB，再根據翻折變換的性質得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠ACB，再根據“等角對等邊”得AC=AB=6cm。

答案：6。

【點評】以上兩題主要考查了矩形的性質、翻折的性質、等腰三角形的判定、平角的定義。圖形折疊后，相當于出現了角平分線，有角平分線又有平行線，就會產生等腰三角形，找到那個等腰三角形就會使問題得到解決。

例2 （2019·山東濱州）如圖5，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG。

（1）求證：四邊形CEFG是菱形;

（2）若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積。

【分析】（1）根據題意和翻折的性質，可以得到∠BEC=∠BEF，FE=CE，再根據FG∥CE，得∠FGE=∠CEB，所以∠FGE=∠FEG，FG=FE，FG=EC，先證四邊形CEFG是平行四邊形，再由CE=FE證明它是菱形;（2）根據題意和勾股定理，可以求得AF的長，設EF=x，則DE=6-x，在Rt△DEF中，利用勾股定理求得EF的值，從而可以得到四邊形CEFG的面積。

【點評】以上兩題考查了矩形的性質和折疊的性質，根據折疊前后的兩個圖形全等，找出它們對應的線段，設出合適的未知量，通過轉換，在同一個直角三角形里，利用勾股定理構建方程，然后解方程即可。

通過上述幾個問題我們可以看出，解決圖形翻折問題，首先要知道是怎樣折疊的，折疊的本質是什么，明白折疊的性質，如折起部分與重合部分全等，折疊前后對應線段、對應角相等，連接對應點的線段被對稱軸垂直且平分。這些條件通常比較隱蔽，有待解題時挖掘并梳理。解決平行四邊形的翻折問題時，如果有平行線，那么翻折后就有可能出現等腰三角形。如果有直角三角形出現，可以設未知數，根據題意將所給條件轉移集中在同一個直角三角形里，通過勾股定理列方程求解。方程的思想與方法是解決折疊問題的常用方法。

（作者單位：安徽省臨泉縣第三中學）