圖形旋轉之妙用

馬嬌 孫曉峰

同學們，大千世界，運動變化可以說無處不在，運動與我們緊密相連。在數學世界里圖形的運動為我們解決問題帶來很多便捷，也增添了不少樂趣。利用平移、翻折、旋轉，我們的答題能更加簡單。

下面讓我們一起走進圖形的旋轉，領略其巧妙之處。

例1 如圖1，已知正方形ABCD，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF=45°，則線段BF、DE、EF之間的關系式是__________。

【解析】基于對全等知識的研究和運用，一部分同學會立馬想到在△AEF中構造與△ADE或△ABF全等的△AEH或△AFH（如圖2），但發現不管是在EF上作EH=ED，還是作∠DAE=∠HAE，或是作AH⊥EF，要證明三角形全等，都只具有兩個條件，因此利用分割證全等得不出答案。

我們再來回顧一下題目條件，看看能否得出什么信息。不難發現AB=AD，∠DAB=90°=2∠EAF=∠D=∠ABC，得到∠DAE+∠BAF =∠EAF=45°。我們要解決BF、DE、EF三者間的關系，可以將短線段合理變換，把BF放到直線DC上，再證明全等，于是旋轉自然就巧妙構建出來了。將△ABF繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，如圖3，證明△AEF與△AEG全等，即可說明BF、DE、EF三者關系為EF=BF+DE。需要提醒的是：由旋轉形成的圖形，在進行推理說明時，一定要說明E、D、G三點在一條直線上。為避免證明三點共線，我們可以延長ED到G，使GD=BF，然后兩次證明全等即可。同學們閱讀完后，不妨自己動手寫寫看。

例2 如圖4，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD， AE⊥BC于E，若線段AE=5，則S四邊形ABCD=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

【解析】受前例啟發的同學，估計很快想到捷徑——巧妙構建旋轉（如圖5），把△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到正方形AECF，則四邊形ABCD的面積即為正方形AECF的面積，結果為AE2=25。利用旋轉將不規則四邊形轉化成特殊四邊形，利用特殊四邊形面積公式進行計算，簡單直觀。

講到這里，不知大家有沒有產生疑惑，為什么以上兩題都可以用旋轉？兩個問題有什么共性的本質可以遵循呢？

感悟：旋轉的本質——旋轉前后的圖形是全等形，旋轉前后的對應線段、對應角相等。例1、例2的共同特征是在一個頂點處有兩條相等線段，條件里四邊形的相對內角和為180°，即等線段、等角。

例3 如圖6，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】剛讀完題后，從題目條件觀察思考是不是找不到解決的方法？我們再次讀題，條件中得不到解題信息，那不妨從問題處著手突破。要求三線段和的最小值，聯想到求兩線段和的最值方法，只需要將現在的共點三線轉化成三折線，而且三折線在兩個頂點之間，因此應進行等線段轉換。

感悟：本題特征是共點三線，利用旋轉60°得到等邊三角形，形成等線段，巧妙地轉化成熟悉的模型。這就是旋轉之奧秘。

閱讀完三例，我們可以感受到數學中的無窮樂趣，旋轉應用之巧妙。聰明的你，不妨動手試一下：

（作者單位：江蘇省無錫市陽山中學）