空氣耦合超聲換能器聲場的時(shí)域計(jì)算方法

李 驥，張 旻，PIWAKOWSKI Bogdan

(1.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院,成都 610213;2. 里爾中央理工 電子、微電子與納米技術(shù)研究所(法國國家科學(xué)研究中心) ,里爾 59651)

空氣耦合超聲換能器是空氣耦合超聲檢測系統(tǒng)的核心部件，在換能器設(shè)計(jì)的過程中，一般需要優(yōu)化換能器的幾何形狀(如線形、圓形、方形等)和尺寸，以對(duì)近場、遠(yuǎn)場、聲束擴(kuò)散角等聲場特征參數(shù)進(jìn)行精確調(diào)控。上述參數(shù)直接決定了換能器的工作性能，例如，近場距離代表了換能器的自然焦距，其與聲束擴(kuò)散角共同決定了換能器聲場的能量分布，進(jìn)而影響換能器在材料缺陷檢測中的靈敏度、橫向和縱向分辨力。聲場的準(zhǔn)確計(jì)算是超聲換能器設(shè)計(jì)和優(yōu)化中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)者們?cè)诖朔矫骈_展了大量工作，采用瑞利積分法、角譜法、有限差分法、邊界元法和有限元法對(duì)換能器的聲場進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，極大地推動(dòng)了超聲換能器的發(fā)展。上述工作主要集中在水耦合換能器方面，且一般認(rèn)為超聲波在水中的衰減可以忽略[水中的超聲波衰減為α(f)=19.02×10-4f2dB·cm-1，f為頻率，單位為MHz]。然而，在常溫常壓下(25 ℃，101 kPa)，超聲波在空氣中的衰減為α(f)=15.9×10-1f2dB·cm-1[1]，約為水中的1 000倍，因而空氣耦合聲場的計(jì)算中必須將衰減因素考慮在內(nèi)。

針對(duì)空氣耦合換能器聲場計(jì)算中聲波衰減的問題，GACHAGAN等[2]采用低通濾波方法進(jìn)行了衰減表征，并基于瑞利積分和簡化低通濾波器建立了空氣耦合換能器聲場的計(jì)算模型；BASHFORD[3]、孔濤等[4]基于聲場的解析公式對(duì)圓形換能器聲場進(jìn)行了仿真，考慮到聲波在空氣中的衰減效應(yīng)，對(duì)換能器聲場進(jìn)行了頻域修正；將修正后的聲場與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，較為吻合。LI等[5]采用復(fù)波數(shù)表征了聲波在介質(zhì)中的衰減及其對(duì)應(yīng)的頻散，結(jié)合逆傅里葉變換計(jì)算時(shí)域格林函數(shù)，建立了一般衰減性介質(zhì)[α(f)=α0fη，其中α0和η為非負(fù)數(shù)，1≤η≤2]中超聲換能器聲場的瑞利積分計(jì)算模型。采用該模型對(duì)圓形空氣耦合超聲換能器聲場進(jìn)行了模擬，獲得的時(shí)域波形，聲壓的軸向、徑向分布與試驗(yàn)結(jié)果非常吻合。筆者基于上述工作進(jìn)一步開展研究，針對(duì)空氣介質(zhì)推導(dǎo)出時(shí)域格林函數(shù)的解析表達(dá)式，避免了逆傅里葉變換過程，基于該函數(shù)和瑞利積分建立了空氣耦合超聲換能器聲場的時(shí)域空間脈沖響應(yīng)計(jì)算模型，為空氣耦合換能器聲場的模擬提供了快速的計(jì)算方法。

1 空氣耦合聲場計(jì)算模型

空氣耦合超聲換能器輻射聲場示意如圖1所示，任意形狀的換能器位于無限延伸的剛性平板中間。假設(shè)換能器表面S垂直振動(dòng)，其法向速度為vn(M0)。由惠更斯原理可知：S上的每一點(diǎn)都可以視為向外輻射球面波的振源，則空間任意一點(diǎn)M(x,y,z)的速度勢HΦ(M,f)響應(yīng)為所有點(diǎn)振源輻射的球面波的疊加，可以采用瑞利積分表達(dá)為

(1)

G(M0,M,f)=exp[j(2πft-kR)]/(2πR)

(2)

式中：G為半無限空間中的格林函數(shù)；R為觀測點(diǎn)M到點(diǎn)振源M0之間的距離；k=2πf/c，c為聲速。

在工程實(shí)際中，聲波在大多數(shù)材料中傳播時(shí)存在衰減。對(duì)于絕大部分材料而言，冪指數(shù)η為02。

圖1 空氣耦合超聲換能器的輻射聲場示意

一般情況下，衰減可能在兩方面引起聲場的畸變：① 衰減會(huì)導(dǎo)致聲波能量的耗散,進(jìn)而引起波動(dòng)幅度的降低；② 聲波在自由空間(無邊界或假設(shè)為無邊界)中傳播時(shí)，衰減會(huì)引起頻散(波速隨頻率變化)，且此時(shí)頻散只能由衰減引起，也即衰減是頻散的充分必要條件[6]。大量的理論和試驗(yàn)研究證明：衰減與相應(yīng)的頻散cα(f)由Kramers-Kronig關(guān)系決定[6-9]，也即

(3)

式中：f0為一個(gè)設(shè)定的頻率，要求其遠(yuǎn)大于所研究的頻率范圍f0?f，也即使得c(f0)=c(f→∞)。

為了將衰減和頻散兩個(gè)因素同時(shí)考慮在波傳播的過程中，這里引入復(fù)波數(shù)：K=kα(f)-jα(f)，其中kα(f)=2πf/cα(f)。將復(fù)波數(shù)K代入式(2)中，替換k可以得到衰減性介質(zhì)中的格林函數(shù)在頻域的表達(dá)式如式(4)所示。

Gα(M0,M,α,f)=exp[j(2πft-KR)]/(2πR)=

exp[-α(f)R+j2πfR/cα(f)]/(2πR)

(4)

當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生二次方衰減，也即η=2，α(f)=α0f2。由式(3)可知，此時(shí)聲速cα(f)=c(f→∞)=c0為常數(shù)，也即空氣中的二次方衰減不會(huì)引起頻散，c0為空氣中的聲速。因此，空氣中的頻域格林函數(shù)可以寫為

Gα,air(M0,M,α,f)=

(5)

式(5)具有高斯函數(shù)的形式，因此對(duì)其進(jìn)行逆傅里葉變換可以得到空氣中時(shí)域格林函數(shù)的解析表達(dá)式如式(6)所示。

gα,air(M0,M,α,t)=

(6)

將式(5)代入式(1)，可以得到在空氣中的速度勢響應(yīng)為

(7)

相應(yīng)的時(shí)域空間脈沖響應(yīng)為

(8)

式(6)和式(8)為空氣耦合狀態(tài)下超聲換能器聲場的時(shí)域空間脈沖響應(yīng)計(jì)算模型。假設(shè)換能器在外部激勵(lì)s(t)下沿法向均勻振動(dòng)，也即vn(M0)為常數(shù)，則由線性系統(tǒng)理論可知，換能器向空氣中任意一點(diǎn)輻射的速度勢為

Φ(M,t)=s(t)*hΦ(M,α,t)

(9)

相應(yīng)的聲壓為

(10)

2 空氣耦合聲場仿真

選定最為常見的圓形空氣耦合換能器進(jìn)行聲場仿真研究，設(shè)定換能器半徑為10 mm，中心頻率f0為200 kHz，空氣中聲速c0為340 m·s-1，聲波的衰減為α(f)=15.9×10-1f2dB·cm-1，超聲波在空氣中的衰減曲線如圖2所示。在換能器研究中，通常采用Chebychew函數(shù)模擬其聲-電響應(yīng)，因此這里假定激勵(lì)函數(shù)為Chebychew函數(shù)。

(11)

式中：f0為中心頻率；tr和tf分別為上升時(shí)間和下降時(shí)間，這里設(shè)定tr=tf=0.6/f0。

圖2 超聲波在空氣中的衰減曲線

圖3 換能器激勵(lì)函數(shù)的時(shí)域波形及其頻譜

換能器激勵(lì)函數(shù)的時(shí)域波形及其頻譜如圖3所示。

2.1 軸向聲壓分布

圖4 換能器軸向聲壓分布

根據(jù)式(6)(10)，對(duì)換能器聲場進(jìn)行仿真，提取時(shí)域波形的峰值幅度和中心頻率成分的幅值，沿?fù)Q能器中心軸線的聲壓分布如圖4所示。由圖4可知：① 對(duì)于時(shí)域波形峰值，在無衰減的情況下，其幅值在近場范圍內(nèi)先減小后增大，在遠(yuǎn)場范圍內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)考慮空氣中的衰減時(shí)，其幅值隨著傳播距離的增加逐漸減小；② 對(duì)于中心頻率成分，在無衰減的情況下，其幅值在近場范圍內(nèi)反復(fù)波動(dòng)，多次到達(dá)零點(diǎn)和最大值點(diǎn)，在遠(yuǎn)場范圍內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)考慮空氣中的衰減時(shí)，其幅值在近場范圍內(nèi)反復(fù)波動(dòng)，多次到達(dá)零點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且極大值隨著傳播距離的增加而減小，幅值在遠(yuǎn)場范圍內(nèi)單調(diào)遞減；③ 與無衰減的情況對(duì)比，空氣中近場長度明顯減小。

2.2 時(shí)域波形

換能器軸線上遠(yuǎn)場內(nèi)一點(diǎn)z=56.25 mm處的時(shí)域波形及其頻譜如圖5，6所示。由圖5，6可知：空氣中的衰減使得時(shí)域波形更加簡單；無衰減情況下的峰值頻率為200 kHz，而當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)，高頻成分被極大地削弱，峰值頻率發(fā)生了偏移，偏移量約為80 kHz。

圖5 無衰減時(shí)，z=56.25 mm處的時(shí)域波形及頻譜

圖6 空氣中傳播時(shí)，z=56.25 mm處的時(shí)域波形及頻譜

3 結(jié)語

(1) 介質(zhì)中的衰減在引起超聲波幅值降低的同時(shí)會(huì)引起頻散，但是對(duì)于空氣來說，由于其滿足二次方衰減，由Kramers-Kronig關(guān)系可知，其聲速保持不變。

(2) 考慮空氣中的二次方衰減，推導(dǎo)出空氣中時(shí)域格林函數(shù)的解析表達(dá)式，基于該函數(shù)和瑞利積分建立了空氣耦合換能器時(shí)域聲場的快速計(jì)算模型。

(3) 對(duì)空氣耦合換能器的軸向聲場進(jìn)行仿真發(fā)現(xiàn)：相對(duì)于無衰減的情況，空氣中的衰減引起軸向聲壓明顯降低，近場距離減小。

(4) 對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行仿真發(fā)現(xiàn)：空氣的衰減特性會(huì)引起低通濾波效應(yīng)，導(dǎo)致時(shí)域信號(hào)的高頻成分被極大地濾除，時(shí)域波形變得更加簡單，同時(shí)信號(hào)頻譜峰值會(huì)向低頻部分偏移。