推進劑貯箱區間干涉時變可靠性分析方法

辛騰達，趙繼廣，崔村燕，段永勝

推進劑貯箱作為貯存液體推進劑的大型薄壁結構，一旦發生泄漏將造成巨大的經濟損失、環境破壞與人員傷亡，因此對推進劑貯箱的可靠性進行分析，對保證航天試驗安全具有重大的現實意義。當火箭長期處于代發狀態時，由于腐蝕、老化及外界隨機載荷等因素的影響，推進劑貯箱的可靠性不再是傳統模型下的單一數值，通常表現出時變特性。

結構時變可靠性分析主要基于跨越率的方法［1-2］，但由于其復雜的積分運算，很難在工程實際中進行有效的應用。為提高跨越率的計算效率，Andrieu-Renaud等［3］提出了PHI2方法。然而，對于一些復雜結構，PHI2方法的計算效率也將會大大降低。蒙特卡羅［4-5］、等效隨機過程變換［6］、基于交叉熵的自適應采樣［7］及應力-強度干涉［8］等基于概率隨機過程的方法，也是時變可靠性分析中常用的方法。然而，概率可靠性分析在很大程度上依賴于參數的具體分布，如果由于缺乏數據而主觀對分布形式進行假設，所得分析結果難以令人信服［9］。

20世紀90年代，Ben-Haim［10］首次提出基于凸模型理論的結構可靠度概念，將工程結構中的有界不確定參數表示為凸模型的形式。1995年，Elishakoff［11］將應力上界與屈服應力之比定義為非概率安全系數，應用區間理論對非概率安全性進行了分析。2001年，Guo和Lv［12］將不確定參數量化為區間變量，提出將原點到極限狀態面的最短距離定義為非概率可靠度的方法。2003年，Qiu和Wang［13］將非概率區間方法與概率方法進行了比較，證明了區間理論與概率理論分析結果的一致性。近年來，非概率可靠性理論處理參數不確定問題的巨大優勢，引起了理論界和工程界的廣泛關注［14-15］，為推進劑貯箱時變可靠性分析提供了重要參考。

本文基于區間理論與應力-強度干涉理論，提出了一種應用于推進劑貯箱時變可靠性分析的非概率區間干涉時變可靠性分析方法，并結合推進劑貯箱示例參數，與服從正態分布的應力-強度干涉可靠性方法及區間可靠性方法進行了對比分析，驗證了本文方法的有效性。

1 推進劑貯箱應力分析

1.1 橢球底圓柱貯箱模型

橢球底圓柱貯箱是貯存液體推進劑的重要結構，主要承受內部增壓、軸壓及液壓的作用。根據橢球底圓柱貯箱的實際受力情況，建立橢球底圓柱貯箱模型，如圖1所示。圖中：xOy為基準坐標系，δb為橢球下底壁厚，r為參考點到y軸距離，b為橢球底高度，R1和R2分別為橢球下底第一曲率半徑和第二曲率半徑，φb為R2與y軸夾角，a為貯箱半徑，δc為圓柱筒壁厚，hc為圓柱筒高度，h為推進劑液面高度，δr為橢球上底壁厚，R3和R4分別為橢球上底第一曲率半徑和第二曲率半徑，φr為R4與y軸夾角。

圖1 橢球底圓柱貯箱模型Fig.1 Cylindrical tank model with ellipsoid bottom

1.2 橢球下底應力分析

據圖1可知，貯箱橢球下底母線的橢圓方程可表示為

橢球模數m定義為貯箱半徑a（橢球底母線長半軸）與橢球底高度b（橢球底母線短半軸）之比，即m＝a／b，可得

貯箱橢球下底主要承受內部增壓與液壓的作用，橢球下底參考面上的平衡方程可表示為

式中：P為內部增壓；σb1為橢球下底經向應力；g為重力加速度，取為9.8m／s2；ρ為推進劑密度；Vb為參考面以下的容積，即

據式（3）可得橢球下底經向應力σb1為

根據旋轉薄殼無矩理論，橢球下底任意微元均存在：

式中：σb2為橢球下底環向應力。

結合式（5）、式（6），可得

1.3 圓柱筒應力分析

在內部增壓與軸壓作用下，圓柱筒經向應力σc1為

式中：Z為火箭起飛質量。

在內部增壓及推進劑液壓的作用下，圓柱筒環向應力σc2為

1.4 橢球上底應力分析

貯箱橢球上底（－hc－b≤y＜－hc）與橢球下底結構相同，即R3＝R1，R4＝R2，sinφr＝sinφb。

則貯箱橢球上底母線的橢圓方程為

當－h≤y＜－hc時，橢球上底受內部增壓與液壓作用，橢球上底經向應力σr1與環向應力σr2分別為

1.5 貯箱等效應力分析

通過對貯箱各部分應力的分析，以σ1與σ2分別代表經向應力與環向應力，可知貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底應力狀態主要有3種形式：①σ1＞0與σ2＞0均為拉應力；②σ1≤0為壓應力，σ2＞0為拉應力；③σ1＞0為拉應力，σ2≤0為壓應力。

根據第三強度理論，等效應力σe可定義為［16］

2 區間干涉時變可靠性分析方法

設T為參考壽命，t∈［0，T］為服役時刻，X＝｛X1，X2，…，Xn｝為與強度R相關的參數集，Y＝｛Y1，Y2，…，Ym｝為與應力S相關的參數集，據應力-強度干涉理論，貯箱的狀態函數可表示為基于Schaff冪指數強度退化模型［17］，服役周期內任意時刻貯箱強度可表示為

式中：R（X，t）為任意t時刻貯箱強度；R（X，0）為t＝0時刻貯箱強度；R（X，T）為t＝T時刻貯箱強度；γ為與材料相關的衰減系數。

根據區間理論，貯箱強度區間R（X，t）的上下界可分別表示為

R（X，t）的中值與離差可分別表示為

式中：Rc（X，0）和Rr（X，0）分別為t＝0時刻R（X，t）的中值與離差。

將貯箱常載荷應力Sn（Y，t）及不確定載荷應力Su（Y，t）表示為區間變量：

此時，將可靠域面積Ar與標準化區間面積A＝4的比值，定義為任意時刻區間干涉時變可靠性指標η：據式（31）可知η∈（0，1），貯箱處于非完全可靠狀態，η表示結構的可靠度。當k＞1，k＝1或0≤k＜1時，任意時刻區間干涉時變可靠性指標η可據式（31）求得。以k＝2，k＝1及k＝1／2為例，隨M＝0與標準化區間位置關系的變化，相應的η值如圖3所示。

圖2 臨界狀態函數與標準化區間Fig.2 Critical state function and normalized interval

圖3 k＝2，k＝1，k＝1／2時可靠性指標Fig.3 Reliability index when k＝2，k＝1 and k＝1／2

3 驗證分析

以表1所示參數為例，分別對貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的時變可靠性進行分析，并與服從正態分布的應力-強度干涉可靠性方法及區間可靠性方法進行對比分析，驗證本文方法的有效性。

不確定載荷應力區間可根據外界隨機載荷參數而求得，假設不確定載荷應力區間Su（Y，t）為［0，10］，則據式（22）～式（25）可得貯箱應力區間參數，如表2所示。

服從正態分布的應力-強度干涉可靠性方法是一種常用的概率可靠性分析方法，在參數具體

表1 貯箱示例參數Tab le 1 Sam p le param eters of tank

表2 貯箱應力區間參數Tab le 2 Param eters of tank stress interval MPa

式中：Φ（·）為標準正態分布函數。

區間可靠性方法是一種重要的非概率可靠性分析方法，但其對非完全可靠狀態的分析過于保守［19］，任意時刻區間可靠性指標ηi可表示為

據式（30）～式（33），可得貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性指標ηi、ηn及η，如圖4所示。

如圖4（a）所示，當0 h≤t≤44 230 h時，存在ηn＝1、1.908≥ηi≥1及1.418≥η≥1，貯箱橢球下底處于完全可靠狀態；當44 230 h＜t≤T時，存在1＞ηn≥0.992、1＞η≥0.908及1＞ηi≥0.572，貯箱橢球下底處于非完全可靠狀態。

圖4 貯箱橢球下底、圓柱筒和橢球上底可靠性指標Fig.4 Reliability indexes of ellipsoid roof，cylinder and ellipsoid bottom

如圖4（b）所示，當0 h≤t≤47 830 h時，存在ηn＝1、2.566≥ηi≥1及1.676≥η≥1，貯箱圓柱筒處于完全可靠狀態；當47 830 h＜t≤T時，存在1＞ηn≥0.999、1＞ηi≥0.788及1＞η≥0.977，貯箱圓柱筒處于非完全可靠狀態。

如圖4（c）所示，當0 h≤t≤T時，存在ηn＝1、5.762≥ηi≥2.537及2.765≥η≥1.716，貯箱橢球上底處于完全可靠狀態。

綜上所述，本文方法的分析結果與服從正態分布的應力-強度干涉可靠性方法及區間可靠性方法分析結果一致，η介于ηn與ηi之間。當橢球下底、圓柱筒及橢球上底處于完全可靠狀態時，可靠性指標ηn＝1、ηi≥1及ηn≤η≤ηi，η表示其安全裕度。當橢球下底、圓柱筒及橢球上底處于非完全可靠狀態時，可靠性指標0＜ηn＜1、0＜ηi＜1及ηi＜η＜ηn，η表示其可靠度。區間干涉時變可靠性分析方法無須參數的具體分布即可對貯箱的可靠性進行分析，且可有效改善區間可靠性方法對非完全可靠狀態分析過于保守的問題。

4 結 論

1）任意時刻貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性均可由區間干涉時變可靠性指標η∈［0，＋∞）進行分析。

2）η≥1為安全裕度，結構處于完全可靠狀態；0＜η＜1為可靠度，結構處于非完全可靠狀態；η＝0，結構處于失效狀態。

3）推進劑貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性均隨時間而降低，逐漸由完全可靠狀態轉換為非完全可靠狀態。