基于Burg法的城市軌道交通快速線路軌道不平順譜研究

金 鋒,肖 宏,崔旭浩

(北京交通大學 軌道工程北京市重點實驗室，北京 100044)

軌道不平順是軌道結構的基本屬性之一，與輪軌間非線性接觸狀態密切相關，是線路設計的基本輸入參數。截至2019年9月，我國已有39個城市開通城市軌道交通線路，盡管運營里程已超過6 000 km,但至今我國尚未建立通用的城市軌道交通不平順譜。而根據新一輪北京軌道交通線網規劃(2017—2035年),我國將穩步推進快速、大規模修建城市軌道交通線路的步伐。可見，基于采集的大量軌檢數據開展城市軌道交通不平順譜研究，不僅重要而且緊迫。

近年來，隨著城市規模的不斷擴張，部分城市軌道交通線路的速度也大幅提升，其中北京地鐵6號線的速度最高可達100 km/h。北京地鐵6號線首次采用8節B型地鐵列車并使用接觸網供電方式，是首次采用100 km/h列車的市區主干線，是第一條采用快慢車且設置快車越行站的線路。以往城市軌道交通在低速狀態下可以采用鐵路干線譜、國外譜等進行保守設計，然而隨著速度的增加，半徑小、速度高的動力特征就愈發顯著。如果還采用傳統的軌道譜進行設計，不僅會引起軌道零部件傷損，如扣件折斷[1]等，嚴重時設計的線路還會直接影響列車的運營安全。因此，對城市軌道交通快速線進行深入研究并建立對應的軌道譜，對我國軌道交通建設具有非常重要的意義。

針對軌道不平順譜，國內外已開展了相關研究。文獻[2]分析了滬寧線不平順譜的特征，并使用相干分析的方法進行了影響車輛加速度不平順因素的辨別。文獻[3]提出一種新的窗函數，一定程度上緩解了譜估計過程中的邊界效應。文獻[4]分析了鋼軌接頭處的不平順功率譜，并使用了小波分析方法。文獻[5]通過對大量基礎數據的總結提出了中國干線鐵路通用軌道譜。文獻[6]對朔黃重載鐵路進行了不平順譜的估計，并使用HHT(Hilbert-Huang Transform)從時域與頻域上進行了軌道不平順幅值能量的分析。國外譜如美國六級譜[7]與德國干擾譜[8]，更是廣泛應用于相關的設計與研究工作之中。

綜上可以看出，通過不斷研究[9-13]，已經獲得不同類型的軌道譜，包括高速鐵路譜、客運專線譜、凍脹地區軌道譜、重載鐵路譜等。但至今，我國尚未建立軌道交通不平順譜，尤其是軌道交通快速線路譜，這嚴重影響了軌道交通的合理設計、檢測評估，并大大阻礙了軌道新產品、新技術的研發與推廣。

因此，本文以綜合軌檢車測量的北京地鐵6號線正常狀態幾何形位檢測數據為基礎，通過多尺度小波分析及異常值剔除算法，引入并推導現代譜估計中的Burg法，進行城市軌道交通快速線路不平順譜研究。

1 不平順數據預處理

由于人工標定、傳感器漂移、數據傳輸、天氣等原因，會導致軌檢車進行軌檢作業時獲取的軌檢數據存在明顯的異常值，為了消除數據異常值的影響，需要針對軌道不平順的特性選擇適宜的濾波算法進行軌檢數據的預處理。

1.1 異常值剔除算法

使用逐點遍歷法對原始軌檢車檢測數據進行異常值剔除。與相鄰值比較法相比，逐點遍歷法解決了出現連續多個超限不平順幅值時方法失效的問題。

圖1為逐點遍歷法剔值處理后與原始輸入數據的對比圖。從圖1可以看出，使用該方法進行異常值消除的效果比較明顯，有效地剔除了錯誤項。

圖1 異常值剔除后與原始數據對比

1.2 多尺度趨勢項消除算法

軌距、軌向等不平順由于其結構特性，存在明顯的趨勢項，其均值不為0，從圖1就可以看出圖形中軸趨于負值，這也說明需要進行趨勢項的消除。

考慮到軌檢車采樣過程中信號頻率范圍較寬，且不是嚴格的周期信號，本文采用小波分析方法進行多尺度趨勢項消除。

1.2.1 多尺度趨勢項消除算法

正交小波變換中用到兩個濾波器組h(j)與g(j)，分別表示低通濾波器與高通濾波器，兩者關系為g(j)=(-1)jh(1-k)。令需要處理的信號f(j)為原始信號，且取a0(j)=f(j)，則信號分解、重構算法[14]為

(1)

(2)

(3)

式中：i為分解次數。式(1)、式(2)為分解算法，式(3)為重構算法，通過分解可將實測軌道不平順數據中低頻成分與高頻成分分離開來，其中所需要的不平順數據為高頻部分，低頻部分則為曲線超高等的趨勢項，在重構過程中將低頻信號選擇性地過濾可達到消除趨勢項的目的。

對于理想濾波器，在2j尺度上，h(f)和g(f)的頻率范圍分別為[0,fs/2j+1]和(fs/2j+1,fs/2j]，軌檢車每隔0.25 m采樣一次，采樣空間頻率fs為4，而我們所關注的軌道譜中主要不平順波長范圍為1～32 m，需要分解6次才能達到濾波目的。考慮到軌道結構的特殊性，需要對小波分析所使用的小波基進行嚴格的篩選與對比。

1.2.2 小波基選取對比

在小波分析的過程中扮演最重要角色的就是小波基，目前較為流行的有正交小波Daubechies小波(dbN)、雙正交小波Biorthogonal(biorN.N)、近似對稱的Symlet小波(symN)和Coiflet小波(coifN)等。其中N為小波分解層數，分解層數越多小波消失矩階數越高，濾波越徹底。

為了篩選出最適合城市軌道交通濾波處理的母小波，進行了各種小波分解重構后結果的對比，見圖2。

圖2 各種母小波結果對比

從圖2可以看出，通過小波的變換之后,基于各小波基的結果均比較明顯，趨勢項消除質量均滿足軌道不平順譜分析的要求。為了取最優小波基，列出相關的評價指標進行篩選，如表1所示。

表 1 小波基處理結果對比

從表1可以看出，與源數據相比，經過小波處理后數據的期望值與方差均有減小，結合圖2中處理后小波的形態，可以看出對軌道譜估計有影響的低頻趨勢項已經被較好地處理；其次，從表1還可以看到coif5母小波的期望值與方差兩個指標值均是最優。因此，本文采用coif5母小波進行趨勢項消除工作。

1.2.3 趨勢項消除

使用coif5小波基，進行6次多尺度分解重構得到了預處理后的軌距、高低、軌向不平順數據。限于篇幅，僅將部分預處理結果展示，見圖3。

圖3 趨勢項消除對比總圖

從圖3可以看出，軌距、高低等使用小波處理均有良好的效果，數據基線均已歸零。

2 軌道譜獲取方法的優化

2.1 軌道譜估計方法的選擇

由于軌道不平順影響因子眾多導致其幅值的不確定性，使其有明顯的隨機特性。為了描述隨機過程，本文使用功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)函數進行隨機過程的描述。由于獲取的信號長度不為無限長，不具備平方可積條件，這對工程上使用傅里葉變換獲取功率譜密度函數造成了障礙。

目前，工程上普遍使用經典譜估計方法進行軌道譜的估計。經典譜估計方法主要由周期圖法與其優化方法組成。經典譜估計方法是以傅里葉分析為理論基礎的一種較為成熟的譜估計方法，又稱為非參數模型譜估計，包括間接法和直接法。間接法是以有限序列數據的相關函數為媒介來估計原始數據的功率譜，其理論基礎是維納-辛欽定理，在1958年由Blackman和Tukey提出[15]。作為早期的譜估計方法，間接法在延遲參數較大時會導致計算量過大，且估計的精度不高，所以一般使用直接法[16]。直接法又稱周期圖法，其通過直接利用有限序列數據的傅里葉變換來估計其功率譜，是經典譜估計的一個常用方法，目前所提出的中國干線譜、高速譜使用的均是周期圖法或其改進方法。

直接法的方差計算十分復雜，由Jenkins 的結論[17]可知，方差可以表述為

(4)

式中:IN(ω)為直接法功率譜估計量;Px(ω)為真實功率譜;ω為圓頻率;N為數據長度。當N較大時，直接法方差可近似表示為

(5)

式(5)表明，直接法的方差不隨著數據量N的增大而趨于0，因此不是功率譜的一致估計[18]。

為了優化其方差性能，又提出了Bartlett法與Welch法進行軌道譜的估計。

Bartlett法基本思想是將原始數據進行分段，使用矩形窗函數進行功率譜的估計并進行平均，由于各段數據越少，估計的偏差越大，這種方法以估計的偏差增大為代價，達到減小方差的目的。

相較于Bartlett法，Welch法在進行分段時需要將每段信號樣本進行重疊，在同樣的分段數下各段數據變長，限制了偏差大小的范圍，減小了方差，提升了經典法功率譜的估計效果。各段重疊50%可使方差減少一半，但是更多的重疊并不能進一步降低方差。

由于可使用FFT算法進行快速計算，周期圖法及其優化算法廣泛應用于目前軌道譜的估計，但是其具有以下缺點：

(1)經典譜分辨率較低。

(2)經典譜估計方法得到的軌道譜估計方差性能較差，不是真實軌道譜的一致估計，并且在數據點增加時譜曲線起伏加劇。

(3)經典譜估計方法的平滑和平均與窗函數的使用緊密關聯。沒有一個窗函數能使譜估計在方差、偏差和分辨率各方面同時得到改善，使用平滑和平均主要用來改善周期圖的方差性能，但往往又降低了分辨率、增加了偏差。

(4)由于假定信號在數據觀測區間以外等于0，因此估計結果較難與實際軌道譜相匹配，這種現象在數據序列較短時尤其明顯，經典法不適用于短序列信號的軌道譜估計。

2.2 Burg法理論推導

經典譜估計的分辨率與信號的有效長度成反比，而現代譜估計的分辨率可以不受此限制。因為對于給定的N點有限長序列x(n)，雖然其估計出的相關函數也是有限長的，但現代譜估計方法隱含著數據和自相關函數的外推，使其可能的長度超過給定的長度，因而AR(Auto Regressive)模型譜的分辨率較高。

Burg法是AR系數求解算法中較為優秀的方法，已經逐漸應用于其他學科功率譜的估計。因此本節主要引入Burg法并進行推導，開展軌道不平順譜估計的研究。

Burg法的基本思想是，令前后預測誤差功率ρf與ρb之和為最小

(6)

計算過程中前后誤差分別為ef(n)與eb(n)，這時有

(7)

(8)

上式中，當AR模型法階次m由1增至p時，eb(n)有如下的遞推關系

(9)

(10)

按照式(10)進行計算后，在階次m狀態下的AR模型系數可以由Levinson遞推算法求出，即

(11)

在上述Burg算法的推導中可以看到，AR模型的階數直接關系到軌道不平順譜估計質量，若階數太小則譜估計曲線過于平滑，若階數太大譜估計曲線會出現虛假譜峰，圖4為一段軌道不平順數據不同階數的對比。

因此，如何選取AR模型合適的階數成為使用Burg法估計軌道不平順譜的一個難點。

圖4 Burg法不同階數估計結果對比

當預測誤差功率P達到指定的閾值，或者不再發生變化時，這時的階數即是應選的正確階數。

為了保證城市軌道交通譜對應現代譜估計階數的科學性，使用赤池信息準則[19](Akaika’s Information theoretic Criterion，AIC)進行階數估計。

AIC準則通過使下式達到最小估計模型階次

(12)

可以證明，AIC表示AR模型估計的PDF(Probability Density Function)與數據真實PDF之間的Kullback-Leibler距離的估計值，此種定階方法不僅適用于AR模型階次，還可用于MA(Moving Average)模型與ARMA(Auto Regressive Moving Average)模型階次的確定[20]。

2.3 軌道譜估計質量的對比

如2.1節所述，Welch法作為周期圖法的優化算法，使用加窗、數據重疊等手段減小方差。本文通過Welch法進行了軌道譜方差性能的改進。

圖5為Welch法與Burg法進行譜估計的對比，從圖5可以看出，Burg法相較于Welch法方差性能更好，并由于使用了與直接法、Welch法截然不同的計算手段，跳出了方差、偏差與分辨率之間的矛盾循環，在降低方差的同時，還保證了其分辨率與譜估計的準確性。

圖5 Welch法與Burg法功率譜結果對比

如2.1節所述，直接法及其改進算法結果均不是實際譜的一致估計，而Burg法獲取的結果則是實際譜的一致估計。Burg法與最常用的直接法、Welch法的譜估計特性比較如表2所示。

表2 不平順譜估計方法對比

從表 2各項對比結果中可知，Burg法作為現代譜估計方法，由于計算方式的進步，相較于直接法、Welch法等經典譜估計方法在分辨率、譜的一致性、方差性能、適用范圍等類別中均有優勢，契合日漸提高的軌道不平順譜估計精度與不平順幾何形位設計的需要。

3 城市軌道交通譜的擬合

根據城市軌道快速線軌道不平順譜的分布規律及特點，通過使用計算機窮舉法進行擬合公式的適應性計算，歸納、統計分析不同擬合公式，確定了適合城市軌道交通的不平順譜擬合模型，包括軌距、高低及軌向，其表達式為

軌距：

(13)

高低：

(14)

軌向：

(15)

使用Levenberg-Marquardt最小二乘理論對Burg法得出的軌道譜估計結果進行模型參數擬合，擬合結果見圖6～圖8。由圖6～圖8可知，擬合曲線可以較好地表述基于Burg法譜估計結果的各波長段特征，其中在1～2 m小波長區段，相對而言存在少量可接受的數據擬合誤差。表3為高低、軌距、軌向三種不平順擬合的公式參數及計算結果。從表3可知，三者擬合優度均在0.95以上，擬合質量較高。

圖6 軌距不平順擬合結果

圖7 高低不平順擬合結果

圖8 軌向不平順擬合結果

表3 北京地鐵6號線軌道譜擬合結果

4 城市軌道交通譜的分析

由于城市軌道交通結構本身的特殊性，其軌道不平順也展現出不同的特性。圖9～圖11為城市軌道交通譜與其他譜的對比。

由圖9可知，對于軌距不平順，北京地鐵快速線路譜總體上要優于美國六級譜、120 km/h通用軌道譜，劣于德國干擾譜。

圖9 北京地鐵6號線軌距譜與其他譜的對比

由圖10可知，快速線高低譜總體上優于120 km/h通用譜，整而言趨于美國六級譜與德國低干擾譜之間，在1～6.3 m波長段要優于上海地鐵譜,整體而言兩者差別不大。

由圖11可知，快速線軌向譜總體上優于美國六級譜、120 km/h通用譜；略優于上海地鐵軌向譜，位于德國低干擾譜與德國高干擾譜之間。

圖10 北京地鐵6號線高低譜與其他譜的對比

圖11 北京地鐵6號線軌向譜與其他譜的對比

綜上可以看出，北京地鐵快速線路譜優于美國六級譜、120 km/h通用譜，劣于德國低干擾譜，與上海地鐵地下段譜特征相差不大。以上結果表明，城市軌道交通本身的線路特性使得其軌道譜與高速鐵路譜、干線譜存在差異，而與上海地鐵擬合譜相差不大，使用本文擬合譜來進行城市軌道交通尤其是快速線路的設計與研究，更接近實際、更合理。

5 結論

(1)通過在數據預處理過程中使用多尺度小波分析方法與異常值剔除算法，對原始數據中錯誤項與多尺度趨勢項進行消除，獲取了可靠度較高的基礎數據，為類似軌檢數據處理提供了參考。

(2)在趨勢項消除環節進行了母小波的對比分析，表明coif5小波基可以很好地適應城市軌道交通譜對于原始數據的平穩隨機要求。

(3)引進并推導了Burg法，并與Welch法、直接法等進行對比分析，結果表明，Burg法在譜估計過程中，比其他兩種方法在方差性能和分辨率性能方面均有優勢。使用信息論中的AIC準則解決了Burg法確定計算階數的問題，較好地完成了基于Burg法的譜估計。

(4)通過對大量公式的適應性計算，得到與城市軌道交通快線特征最為契合的擬合公式，并使用Levenberg-Marquardt算法進行了軌道譜的擬合，得到城市軌道交通快速譜擬合公式。