析x-t圖像 解相關(guān)問(wèn)題

■四川省成都市航天中學(xué)校

x-t圖像是以位移（x）為縱軸，以時(shí)間（t）為橫軸所作的函數(shù)圖像，它表示物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。在日常的學(xué)習(xí)中有很多同學(xué)會(huì)誤以為x-t圖像就是物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌跡。下面通過(guò)對(duì)x-t圖像的剖析，幫助同學(xué)們完成對(duì)相關(guān)問(wèn)題的解答。

一、從x-t圖像中獲取的信息

1.圖像的物理意義：x-t圖像只表示物體做直線運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，直線a表示物體的位移隨時(shí)間均勻增加，又因?yàn)閳D像在橫軸上方表示位移為正，所以表示物體沿正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；直線b表示物體的位移不變化，即物體處于靜止?fàn)顟B(tài)；直線c表示物體的位移隨時(shí)間均勻減小，即物體沿負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2.斜率的含義：x-t圖像的斜率表示速度，圖像傾斜得越厲害，斜率越大，表示物體的速度越大。若x-t圖像是曲線，則在該曲線上某點(diǎn)切線的斜率表示該點(diǎn)的瞬時(shí)速度。如圖2所示，曲線a表示物體的速度逐漸變大，即物體做加速直線運(yùn)動(dòng)，曲線b表示物體的速度逐漸變小，即物體做減速直線運(yùn)動(dòng)。

3.交點(diǎn)的含義：在同一坐標(biāo)系中，幾個(gè)x-t圖像的交點(diǎn)表示這幾個(gè)物體在同一位置，即相遇。

4.截距的含義：x-t圖像在縱軸上的截距表示物體在起始時(shí)刻的位置，在橫軸上的截距表示物體到達(dá)參考點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。

二、x-t圖像與物體運(yùn)動(dòng)軌跡圖像的區(qū)別

物體的運(yùn)動(dòng)軌跡圖像表示物體沿y方向的位移隨x方向位移的變化規(guī)律，它反映的是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡；x-t圖像表示的是物體的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。兩種圖像具有本質(zhì)上的差別。

例1某校學(xué)生開展無(wú)線電定位“搜狐”比賽，甲、乙兩位同學(xué)從如圖3所示的O點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，兩位同學(xué)的“搜狐”路徑已在圖中標(biāo)出，則（ ）。

A.兩位同學(xué)的平均速度相等

B.甲同學(xué)的平均速度大于乙同學(xué)的平均速度

C.甲同學(xué)的路程大于乙同學(xué)的路程

D.甲同學(xué)的位移大于乙同學(xué)的位移

解析

此“地形圖”實(shí)為兩位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖像。兩位同學(xué)同時(shí)出發(fā)、同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，位移相等，平均速度相等，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤。甲同學(xué)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度大于乙同學(xué)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，即甲同學(xué)的路程大于乙同學(xué)的路程，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。

答案：AC

例2甲、乙、丙三個(gè)物體同時(shí)同地出發(fā)做直線運(yùn)動(dòng)，它們的x-t圖像如圖4所示，在0～20s內(nèi)它們的平均速度和平均速率的大小關(guān)系是（ ）。

A.平均速度大小相等，平均速率v甲＞v乙=v丙

B.平均速度大小相等，平均速率v甲＞v乙＞v丙

C.平均速度的大小v甲＞v丙＞v乙，平均速率相等

D.平均速度的大小和平均速率相等

解析

由x-t圖像可知，三個(gè)物體的位移相等，經(jīng)歷時(shí)間也相等，因此平均速度大小相等。因?yàn)榧孜矬w有反向運(yùn)動(dòng)過(guò)程，所以甲物體的路程最大，平均速率也最大；乙、丙兩物體均沒(méi)有反向運(yùn)動(dòng)過(guò)程，乙物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，丙物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，且它們經(jīng)過(guò)的路程是相等的，因此兩物體的平均速率相等。

答案：A

點(diǎn)評(píng)：物體的運(yùn)動(dòng)軌跡圖像表示了物體運(yùn)動(dòng)的軌跡變化情況，它反映的可以是直線運(yùn)動(dòng)也可以是曲線運(yùn)動(dòng)，但是不能反映出物體瞬時(shí)速度的變化情況；x-t圖像不能表示物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌跡，但可以反映出物體在不同時(shí)刻的位置，也能反映出不同時(shí)刻物體瞬時(shí)速度的變化情況。

三、利用x-t圖像解決直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題

x-t圖像可以細(xì)致地記錄、全面地表現(xiàn)物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，具有便捷、直觀的應(yīng)用價(jià)值。

例3（2018年高考全國(guó)Ⅲ卷）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，甲車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻速直線運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩車的位置x隨時(shí)間t的變化如圖5所示，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.在t1時(shí)刻兩車的速度相等

B.在0～t1內(nèi)，兩車走過(guò)的路程相等

C.在t1～t2內(nèi)，兩車走過(guò)的路程相等

D.在t1～t2內(nèi)的某時(shí)刻，兩車的速度相等

解析

由x-t圖像可知，在t1時(shí)刻，甲、乙兩車的圖像有交點(diǎn)，且表示乙車的直線的斜率大于表示甲車的曲線的斜率，說(shuō)明在t1時(shí)刻兩車的位置相同，速度不相等，且乙車的速度大于甲車的速度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。0時(shí)刻乙車從位移為0的位置出發(fā)，甲車從位移大于0的位置出發(fā)，在0～t1內(nèi)乙車走過(guò)的路程要大于甲車走過(guò)的路程，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。在t1～t2內(nèi)，兩車都是從位移為x1的位置走到位移為x2的位置，且兩車在同一平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，因此兩車走過(guò)的路程相等，選項(xiàng)C正確。根據(jù)x-t圖像的斜率表示速度可知，在t1～t2內(nèi)的某時(shí)刻，兩車的速度會(huì)相等，選項(xiàng)D正確。

答案：CD

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是明確在x-t圖像中，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的圖像為一條傾斜的直線，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的圖像為一條拋物線，圖像的斜率表示物體的速度。

四、利用x-t圖像解決豎直上拋運(yùn)動(dòng)中的相遇問(wèn)題

豎直上拋運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，既可以視為全過(guò)程的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，又可以分為上升過(guò)程的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和下降過(guò)程的自由落體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)物體先后以不同的初速度在同一直線上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們可能會(huì)在空中相遇。

例4將小球A以初速度vA=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后，又以初速度vB=30 m/s將小球B從同一點(diǎn)豎直向上拋出，為了使兩小球能在空中相遇，試分析Δt應(yīng)滿足的條件。（取重力加速度g=10m/s2）

解析

因?yàn)槭窃谕稽c(diǎn)拋出的兩小球，且vA＞vB，所以兩小球能夠在空中相遇的位置一定是在小球A下降階段，小球B在上升或下降階段都有可能，兩小球被拋出的時(shí)間間隔由兩小球在空中相遇的位置決定，可以利用x-t圖像進(jìn)行求解。

點(diǎn)評(píng)：求解該題雖然也可以采用其他方法，但是借助x-t圖像呈現(xiàn)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)的位置及變化情況，從而比較、分析兩小球的相遇問(wèn)題，無(wú)疑更直觀、更便捷。

特別提醒：解決x-t圖像問(wèn)題要做到“五看”，即一看“軸”，二看“線”，三看“斜率”，四看“截距”，五看“特殊點(diǎn)”。有些圖像問(wèn)題的求解（如v-t圖像）還需要看圖像與坐標(biāo)軸所圍成的“面積”，而x-t圖像與坐標(biāo)軸所圍成的面積是沒(méi)有意義的。

感悟與提高

1.甲、乙兩小分隊(duì)進(jìn)行軍事演習(xí)，指揮部通過(guò)現(xiàn)代通信設(shè)備，在屏幕上觀察到兩小分隊(duì)的具體行軍路線如圖7所示，兩小分隊(duì)同時(shí)同地由O點(diǎn)出發(fā)，最后同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.兩小分隊(duì)行軍路程的大小關(guān)系是s甲＞s乙

B.甲小分隊(duì)的平均速度大于乙小分隊(duì)的平均速度

C.甲小分隊(duì)的位移大于乙小分隊(duì)的位移

D.到達(dá)A點(diǎn)之前甲小分隊(duì)的瞬時(shí)速度始終大于乙小分隊(duì)的瞬時(shí)速度

2.甲、乙兩人騎自行車同時(shí)同地出發(fā)做直線運(yùn)動(dòng)，前1h內(nèi)的x-t圖像如圖8所示，下列表述正確的是（ ）。

A.0.2h～0.5h內(nèi)，甲的加速度比乙的大

B.0.2h～0.5h內(nèi)，甲的速度比乙的大

C.0.6h～0.8h內(nèi)，甲的位移比乙的小

D.0～0.8h內(nèi)，甲、乙兩人騎行的路程相等

3.a、b、c三個(gè)物體在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，它們的x-t圖像如圖9所示，其中a物體對(duì)應(yīng)的圖像是一條頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10）的拋物線，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.b、c兩物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩物體的速度相同

B.0～5s內(nèi)，a、b兩物體間的距離逐漸變大

C.物體c的速度越來(lái)越大

D.物體a的加速度為0.4m/s2

4.從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A，相隔時(shí)間Δt后再以初速度v0從同一地點(diǎn)豎直上拋物體B，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.兩物體可能在物體A上升過(guò)程中相遇

B.兩物體只能在物體A下降過(guò)程中相遇

參考答案：1.A 2.B 3.B 4.BC