含彈簧系統的動量與動能問題的分析

■甘肅省天水市麥積區向榮學校

彈簧是高中物理中最常見的模型之一，它既是物理概念的抽象應用（物理模型），又是重要物理規律的實際應用（問題載體），利用彈簧的這一特點，可以設計出含彈簧系統的動量與動能的綜合題，較好地考查考生對動量與動能概念和規律的理解和應用程度。下面結合例子進行討論。

一、含彈簧系統的動量與動能的概念和規律

1.理想化彈簧的特點：①在彈性限度內，彈簧的彈力F與形變量x成正比，即F=kx；②在彈性限度內，彈簧的彈性勢能Ep與形變量x的平方成正比，即；③運動物體受到的其他力與彈簧彈力平衡時，加速度為零，速度最大，動能最大；④運動物體壓縮（拉伸）彈簧形變量最大時，物體的速度為零，動能為零，彈簧的彈性勢能最大；⑤在只有重力和彈簧彈力做功的過程，含彈簧的系統機械能守恒；⑥彈簧彈力對物體做的功等于彈簧彈性勢能的變化量，即W=-ΔEp。

二、含彈簧系統的動量與動能綜合題的分析

例題（2019年高考全國Ⅲ卷）如圖1所示，靜止在水平地面上的小物塊A、B的質量分別為mA=1kg，mB=4kg，兩者之間有一被壓縮的微型彈簧，物塊A與其右側的豎直墻壁間的距離l=1 m。某時刻，將壓縮的微型彈簧釋放，使A、B兩物塊瞬間分離，兩物塊獲得的動能之和Ek=10J。將彈簧釋放后，物塊A沿著與墻壁垂直的方向向右運動。兩物塊與地面間的動摩擦因數均為μ=0.2，取重力加速度g=10m/s2。兩物塊在運動過程中涉及的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。

（1）求將彈簧釋放后瞬間兩物塊速度的大小。

（2）兩物塊中的哪一個先停止？該物塊剛停止時物塊A與B間的距離是多少？

（3）物塊A和B都停止時，物塊A與B間的距離是多少？

解析

（1）將彈簧釋放的過程中，系統的動量守恒、機械能守恒。設兩物塊的速度大小分別為vA、vB，取向右為正，由動量守恒定律得0=mAvA-mBvB，由機械能守恒定律得，解得vA=4m/s，vB=1m/s。

（2）兩物塊分離后朝相反方向做勻減速運動，因兩物塊與地面間的動摩擦因數相等，故兩物塊的加速度大小相等，設為a。假設物塊A和墻壁發生碰撞前，已經有一個物塊停止，那么此物塊應該為彈簧釋放后速度較小的物塊B。設從彈簧釋放到物塊B停止所需的時間為t，物塊B向左運動的路程為sB，則，vBat=0，解得a=2m/s2，t=0.5s，sB=0.25m。在時間t=0.5s內，物塊A可能與墻壁發生碰撞，碰撞后物塊A向左運動，但碰撞并不改變物塊A的速度大小，因此無論此碰撞是否發生，物塊A在時間t=0.5s內的路程sA都可以表示為，解得sA=1.75m。sA＞l表明物塊A在時間t=0.5s內與墻壁發生了碰撞，但沒有與物塊B發生碰撞，此時物塊A位于出發點右側0.25m處，物塊B位于出發點左側0.25 m處，兩物塊間的距離Δs=0.25m+0.25m=0.5m。

（3）物塊B停止后物塊A將繼續向左運動，假設它能與靜止的物塊B發生碰撞，碰撞時的速度大小為vA′，由動能定理得，解得，因此物塊A與B將發生碰撞。設兩物塊碰撞后的速度分別為vA″、vB″，由動量守恒定律和機械能守恒定律得。這表明碰撞后物塊A將向右運動，物塊B將向左運動。設碰撞后物塊A向右運動距離為sA′時停止，物塊B向左運動距離為sB′時停止，由運動學公式得2asA′=vA″2，2asB′=vB″2，解得sA′=0.63m，sB′=0.28 m。因為sA′小于碰撞處到墻壁的距離，所以兩物塊都停止時二者間的距離Δs′=sA′+sB′=0.91m。

點評：本題中包含兩個碰撞過程，碰撞過程中動量守恒、機械能守恒；兩物塊分離后的運動過程都是勻減速運動。求解本題的難點在于分析清楚兩物塊分離后，物塊B先靜止，物塊A與墻壁碰撞反彈再與物塊B碰撞，最后兩物塊朝相反方向運動直至靜止。

方法與總結

求解含彈簧系統的綜合性問題，首先要通過受力分析，弄清楚運動過程的性質和遵從的規律，比如是勻速運動還是勻變速運動，是動量守恒還是機械能守恒；其次要根據運動過程的特點，采用合理的方法分析，比如若整個過程比較復雜，則可以分成幾個典型的過程分段處理；再次，要抓住聯系不同運動過程的物理量，比如抓住“前一過程的末速度就是后一過程的初速度”這一條件。

感悟與提高

1.如圖2所示，輕質彈簧的左端固定，處于自然狀態。小物塊的質量為m，從A點向左沿水平地面運動，壓縮彈簧后被彈回，再次運動到A點恰好靜止。已知物塊向左運動的最大距離為s，與地面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中（ ）。

A.彈簧的最大彈力為μmg

B.物塊克服摩擦力做的功為2μmgs

C.彈簧的最大彈性勢能為μmgs

D.物塊在A點的初速度為

2.如圖3所示，質量為M的木塊位于光滑水平面上，用輕彈簧將木塊與左側墻壁相連，開始時木塊靜止在A位置。現有一質量為m的子彈以水平速度v0射向木塊并留在其中，之后壓縮彈簧，彈簧始終處在彈性限度內。木塊回到位置A時的速度v和在此過程中墻壁對彈簧的沖量I的大小分別為（ ）。

3.如圖4所示，光滑水平面上有三個物塊A、B、C，質量分別為mA=mC=2m，mB=m，物塊A、B中間有一壓縮的輕彈簧。開始時物塊A、B以速度v0向右運動，物塊C靜止。彈簧突然彈開，然后物塊B與C碰撞并粘在一起，最終三個物塊的速度相同，求物塊B與C碰撞前B的速度。

參考答案：1.BC 2.B

3.vB=1.8v0。