機械能守恒定律及其應(yīng)用高頻考點探析

■寧夏六盤山高級中學(xué)

機械能守恒定律是物理學(xué)中的一條重要定律，是能量守恒定律的一種特殊情況。應(yīng)用機械能守恒定律解決有關(guān)問題，一般不涉及過程中力的作用細節(jié)，更關(guān)注過程中的機械能的轉(zhuǎn)化關(guān)系和始末狀態(tài)，使物理問題變得簡潔，有時還可以使得一些用牛頓運動定律無法解決的問題得以解決。下面就機械能守恒定律及其應(yīng)用的高頻考點歸納剖析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、機械能守恒定律成立的條件

機械能守恒定律的條件分析和判定是運用機械能守恒定律解題的重要環(huán)節(jié)，同時也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點之一。判斷系統(tǒng)的機械能是否守恒，通常可以采用以下三種方法。

1.定義判斷法：分析系統(tǒng)內(nèi)動能與勢能的和是否變化，如勻速上升的物體的動能不變，重力勢能增加，故機械能必定增加。

2.做功判斷法：若僅僅是系統(tǒng)內(nèi)的重力或彈力做功，則系統(tǒng)的機械能一定守恒。具體表現(xiàn)包括：一種是只受重力，如所有拋體運動（阻力不計）；另一種是除重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力，系統(tǒng)還受其他力作用，但是其他力不做功或做的總功為零。

3.能量轉(zhuǎn)化判斷法：若系統(tǒng)中只有動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，如動能、重力勢能、彈簧的彈性勢能之間相互轉(zhuǎn)化，沒有系統(tǒng)的機械能和其他形式能的轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的機械能一定守恒。

例1如圖1所示的四個選項中，物體都在固定的斜面上滑動，其中A、B、C中的斜面是光滑的，D中的斜面是粗糙的。A、B中F是物體所受的外力，A、B、D中物體沿斜面向下運動，C中物體沿斜面向上運動。在A、B、C、D所示的運動過程中機械能一定守恒的是（ ）。

解析

A中，除了重力對物體做功，還有外力F對物體做正功，物體的機械能增加；B中，除了重力對物體做功，還有外力F對物體做負功，物體的機械能減少；C中只有重力對物體做功，物體的機械能守恒；D中，除了重力對物體做功，還有摩擦力對物體做負功，物體的部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

答案：C

二、應(yīng)用機械能守恒定律求解單個物體（系統(tǒng)）問題

單個物體機械能守恒是一種簡潔的說法，其本質(zhì)是系統(tǒng)機械能守恒。解答這類問題，通常采用三種方法分析：一是選擇參考平面，利用機械能守恒定律，列出兩時刻（位置）機械能相等的方程式，求解相關(guān)物理量；二是根據(jù)機械能守恒定律，列出勢能的增加量（減少量）等于動能的減少量（增加量）的方程式，求解相關(guān)物理量；三是根據(jù)機械能守恒定律，列出系統(tǒng)中一些物體機械能的減少量（增加量）等于其他物體機械能的增加量（減少量）的方程式，求解相關(guān)物理量。

例2如圖2所示，兩個圓弧軌道被固定在水平面上，它們的半徑均為R，甲圖中軌道由金屬凹槽制作而成，乙圖中軌道由金屬圓管制作而成，兩個軌道均可視為光滑軌道。在兩個軌道的右側(cè)正上方，分別將金屬小球A與B由靜止釋放，兩小球距離水平面的高度分別是hA和hB，下列說法中正確的是（ ）。

A.如果hA=hB=2R，那么兩小球都能夠沿著軌道運動到軌道最高點

C.若適當調(diào)整hA和hB，則可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好能夠落在軌道右端口處

D.如果使兩小球沿軌道運動，并且從軌道最高點飛出，那么小球A釋放時的最小高度是，而小球B釋放時的高度在滿足hB≥2R的任何高度均可

解析

小球A要想能夠到達軌道最高點，則在軌道最高點必須滿足速度，而小球B在軌道最高點時的速度可以為零。根據(jù)小球在下落和在圓軌道上運動的整個過程中機械能守恒，對小球A有，解得，對小球B有hB≥2R，選項A錯誤，D正 確。當時，對小球A來說，只有當小球A在最高點的速度為零時才能達到高度為，而小球A在軌道上運動時不可能有速度為零的時刻，選項B錯誤。要使小球能夠從軌道最高點飛出后做平拋運動落到軌道右端口處，根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，，R=vt，解得小球做平拋運動的初速度，因此小球A不可能落到軌道的右端口處，小球B可以落到軌道的右端口處，選項C錯誤。

答案：D

三、應(yīng)用機械能守恒定律求解由多個物體組成的系統(tǒng)問題

高考考查機械能守恒定律的應(yīng)用，大多情況是考查由兩個物體組成的系統(tǒng)，這兩個物體通常用細繩或輕桿連接在一起，從運動過程所涉及能量形式的角度看，如果摩擦阻力不計，僅僅是重力勢能和動能之間的轉(zhuǎn)化，或者僅僅是系統(tǒng)內(nèi)彈力對一個物體做正功與對另一個物體做負功，也就是內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，那么系統(tǒng)的機械能守恒。簡言之，若沒有摩擦力和介質(zhì)阻力做功，則系統(tǒng)的機械能守恒。

例3如圖3所示，半徑為r，質(zhì)量不計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直于盤面的光滑水平固定軸O，在盤面的右邊緣固定一個質(zhì)量為m的小球A，在圓心的正下方離其處固定一個質(zhì)量也為m的小球B。放開圓盤讓它自由轉(zhuǎn)動，求：

（1）當小球A轉(zhuǎn)到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？

（2）小球A轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多大？

（3）在圓盤轉(zhuǎn)動的過程中，半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

解析

因為不計圓盤與轉(zhuǎn)軸O的摩擦和空氣阻力，機械能和其他能之間沒有能量轉(zhuǎn)化，所以由圓盤及A、B兩小球組成的系統(tǒng)機械能守恒。

（1）以圓盤邊緣最低點所在水平面為零勢能面，則圓盤剛要開始轉(zhuǎn)動時，A、B兩小球的重力勢能之和，當小球A轉(zhuǎn)到最低點時，A、B兩小球的重力勢能之和Ep2=EpA′+EpB′=mgr，因此當小球A轉(zhuǎn)到最低點時，A、B兩小球的重力勢能之和減少量。

點評：應(yīng)用機械能守恒定律求解由多個物體組成的系統(tǒng)問題，可以根據(jù)機械能和其他形式能之間是否發(fā)生轉(zhuǎn)化，判定機械能是否守恒，也可以根據(jù)確定系統(tǒng)中有哪幾個物體，都受到哪些力，有哪些力做功，除了重力和系統(tǒng)內(nèi)的彈力，其他力是否做功，或者其他力做功的代數(shù)和是否為零，判定機械能是否守恒。本題中，A、B兩小球固定在同一圓盤平面上轉(zhuǎn)動，是典型的同軸轉(zhuǎn)動問題，角速度相等，則線速度與半徑成正比。另外，在利用機械能守恒定律解題時，選取不同的零勢能面，將會影響所列機械能守恒方程的復(fù)雜程度，比如本題若以轉(zhuǎn)軸所在平面為零勢能面，則會使機械能守恒方程更為簡潔，同學(xué)們不妨一試。

四、應(yīng)用機械能守恒定律求解含彈簧類問題

近年來，高考試卷物理模塊中常常出現(xiàn)多過程、多情境的試題，特別是含彈簧類問題出現(xiàn)得更加頻繁。這類試題能夠很好地考查考生分析復(fù)雜問題的能力，應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，以及創(chuàng)新應(yīng)用能力等。

例4如圖5所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，二者用一輕質(zhì)彈簧相連，物體B與地面接觸，物體A與一條不可伸長的繞過輕質(zhì)定滑輪的輕繩連接，輕繩另一端與一輕掛鉤（質(zhì)量不計）相連，它們都處于靜止狀態(tài)。已知彈簧的勁度系數(shù)為k，開始時各段輕繩都處于伸直狀態(tài)，物體A上方的一段輕繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并將它由靜止釋放，物體C恰好能夠使物體B離開地面但不繼續(xù)上升。如果將物體C換成另一個質(zhì)量為（m1+m3）的物體D，仍然從上述初始位置將它由靜止釋放，求這次物體B剛離開地面時，物體D的速度大?。ㄖ亓铀俣葹間）。

解析

開始時，A、B兩物體靜止，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，則kx1=m1g，解得。掛上物體C并釋放后，物體C向下運動，物體A向上運動，設(shè)物體B剛要離開地面時彈簧的伸長量為x2，則kx2=m2g，解得。由題意可知，此時物體A和C的速度均為零，由物體C、A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律可知，彈簧彈性勢能的增加量。將物體C換成物體D后，設(shè)物體B剛離開地面時，物體D的速度大小為v，則此時物體A的速度大小也為v，物體B剛離開地面時彈簧彈性勢能的增加量與掛物塊C時相同，由機械能守恒定律得，聯(lián)立以上各式解得。

點評：高中階段遇到的涉及彈簧彈性勢能的問題，一般是考查機械能守恒定律或能量守恒定律的理解和應(yīng)用，而不是考查彈簧彈性勢能公式的應(yīng)用（除非題目中給出這個公式），原因是教材中沒有這個彈簧彈性勢能的表達式，高考大綱中也不要求掌握這個公式。

感悟與提高

1.2018年10月11日，俄羅斯“聯(lián)盟MS-10”運載火箭發(fā)射升空，不久發(fā)生故障，自動啟動逃逸系統(tǒng)后，逃逸塔以最快的速度將火箭和載人飛船分離，同時啟動自帶發(fā)動機，順利將載人飛船帶離火箭且安全返回地面。將逃逸塔帶著載人飛船在返回地面前的某段運動看成先勻速直線運動，再減速直線運動，最后撞落在地面上。那么飛船在返回地面前（不考慮飛船質(zhì)量的變化），下列說法中正確的是（ ）。

A.在勻速下降過程中，機械能守恒

B.在勻速下降過程中，合外力做功為零

C.在減速下降過程中，機械能守恒

D.在減速下降過程中，合外力做功等于機械能的變化

2.如圖6所示，帶電小球a由兩條絕緣細線PM和PN懸掛，且細線PM水平，小球a處于靜止狀態(tài)。地面上固定一絕緣且內(nèi)壁光滑的圓弧細管道GH，小球a所在位置與圓心P重合，管道底端H相切于水平地面。一質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點）的帶電小球b從G端口無初速度地釋放，當它運動到H端時對管道壁恰好無壓力，那么在小球b由G端運動至H端的過程中（重力加速度為g），下列說法正確的是（ ）。

A.小球b的機械能逐漸減小

B.小球b的加速度先變大后變小

C.細線PM的拉力先增大后減小

D.小球b所受小球a對它的吸引力大小始終為2mg

3.如圖7所示，光滑圓環(huán)半徑為R，固定在豎直面內(nèi)，用輕桿連接兩個質(zhì)量均為m的小球A和B，并將兩小球套在圓環(huán)上，開始時輕桿豎直，同時無初速度地釋放兩球，當小球A運動到小球B的初始位置時，輕桿恰好水平。在從開始運動到輕桿水平的過程中（重力加速度為g），下列說法正確的是（ ）。

A.小球A、B的機械能均守恒

B.由小球A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒

C.輕桿對小球B做的功為

D.輕桿對小球A做的功為0

4.如圖8所 示，半徑R=0.2 m的 光滑半圓軌道AB與傾角θ=37°的粗糙斜面軌道CD放在同一豎直平面內(nèi)，一條光滑且足夠長的水平軌道BC將AB、CD兩軌道相連，C處用光滑小圓弧平滑連接。在軌道BC上，質(zhì)量為m的小物塊b與輕質(zhì)彈簧接觸但不拴接，在軌道CD上，將質(zhì)量為3m的小物塊a由靜止釋放，經(jīng)C點后壓縮彈簧，物塊b到達B點時已與彈簧分離（物塊a與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：

（1）物塊b通過最高點A后，在軌道BC上的落點與B點間的最短水平距離。

（2）要使物塊b能夠通過最高點A，釋放物塊a時的最小高度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

參考答案：1.B 2.C 3.BC

4.（1）Lmin=0.4m；（2）hmin=0.67m。