二元液滴自由碰撞聚并后的振蕩行為研究

李睿，張以任，陳杭，3，路貴民，于建國

（1 華東理工大學資源過程工程教育部工程研究中心，上海200237； 2 國家鹽湖資源綜合利用工程技術研究中心，上海200237； 3 上海污染控制與生態安全研究院，上海200092）

引 言

液-液、氣-液是化工常見多相分散系統，廣泛存在于吸收、萃取、乳化、浮選等化工單元操作。多相分散系統通常涉及復雜相間傳遞作用，是化工單元過程開發設計難點之一，尤其是液滴、氣泡等流體顆粒分散系統，除復雜滴內、滴外流體力學特征外，還存在顆粒間聚并與破碎作用，極大地增加了過程復雜性。因此，多相體系中的流體顆粒動力學行為研究一直是過程開發設計的重要課題。

目前，對于流體顆粒聚并、破碎的研究主要以粒數衡算模型（PBM）為依托，自20世紀60年代提出該理論模型以來，不少研究者對流體顆粒聚并、破碎機制及其生死函數的數學建模開展了系統性研究[1-4]。其中，對于流體顆粒破碎作用的認識集中于湍流作用機理，主要包括湍流脈動與湍渦碰撞作用，并圍繞臨界能量基本模型框架發展形成了

Coulaloglou&Tavlarides[5-7]、Luo&Svendsen[8]、Prince&Blanch[9]等經典液滴破碎模型。相關研究重點則集中于破碎頻率和子代顆粒尺寸分布的模型化構建，通過半經驗、唯象理論、統計模型等方法實現關鍵物理參數的數學表達，尤其是Luo & Svendsen 模型[8]，直接通過液滴破碎概率構建子液滴尺寸分布模型，避免了經驗參數的引入，為模型實際應用提供了極大的便利。關于流體顆粒聚并作用，其物理模型構建主要引入了顆粒碰撞頻率與聚并效率的概念。目前，主流碰撞頻率模型主要考慮湍流脈動作用下的顆粒隨機運動機制，并將流體顆粒類比于氣體分子，借鑒經典氣體動力學理論提出了顆粒聚并作用的碰撞頻率計算模型[5,8-14]。對于聚并效率的模型化主要有能量模型理論[15-17]、臨界接近速度理論[18-19]和液膜排干理論[20-21]，并以液膜排干理論的應用相對最為廣泛。液膜排干理論認為碰撞后液滴之間形成液膜，其厚度隨膜內液體排出而逐漸減小，至臨界膜厚度時液膜破裂，聚并過程由此發生，基于此，不同研究者重點圍繞液滴接觸時間和液膜排干時間兩個特征物理量的建模，結合正態分布概率密度函數建立了聚并效率的數學模型表達。Liao等[22-23]和李少偉等[24]曾對流體顆粒的聚并、破碎模型化研究進展進行了系統性綜述，相關聚并、破碎模型開發為化工多相流體力學的精確仿真計算提供了重要理論基礎。

與此同時，不同研究者對流體顆粒聚并、破碎動力學規律進行了延伸探討。Ata 等[25]在研究液滴聚并過程關鍵影響因素時，發現聚并后氣泡存在明顯的振蕩作用。實驗結果顯示，聚并過程發生后，靜態平行接觸的兩氣泡在碰撞方向及其垂直方向上存在振蕩變形，并逐步衰減，直至穩定的球形或橢球形狀態。顯然，液滴的振蕩過程會影響兩相接觸面積、相界面特性以及滴內傳遞性能，因此，顆粒聚并后的振蕩過程是化工多相流體力學研究不可忽視的環節。Stover 等[26]研究結果表明，顆粒聚并后的振蕩主要歸因于顆粒表面自由能作用下的界面壓力波動，在顆粒聚并發生后，隨著聚并橋的擴張發展，其周圍連續流體被向外推開，并在聚并橋處產生動態高壓力梯度，進而兩相界面形成內外壓力差，并在顆粒表面自由能的限制下驅使顆粒收縮、膨脹，從而產生振蕩作用。Yesenia 等[27]系統研究了氣泡聚并振蕩過程中Weber 數（We）、Reynolds數（Re）、Ohnesorge 數（Oh）等無量綱數隨時間的變化關系，其結果表明氣泡的振蕩運動是由聚并過程釋放的表面能驅動的，隨著振蕩過程的進行，釋放的能量逐步傳遞至周圍環境，最終被連續相流體的黏性所消耗。Bournival 等[28]利用高速照相機研究了非離子表面活性劑溶液環境中的氣泡聚并動力學，其結果表明，彈性作用是聚并后氣泡振蕩的主要影響因素，并存在臨界彈性作用機制。此外，針對外界作用下的單液滴振蕩行為，Miller等[29]和Lu等[30]曾從Navier-Stokes 方程出發，建立了液滴振蕩過程的數學模型，并給出了顆粒振蕩模型參數的計算過程，為流體顆粒振蕩過程行為研究提供了有力的理論支撐。

綜上所述，目前已有較多研究者對液滴振蕩行為開展了實驗與理論研究，所研究對象主要集中于外界作用下單液滴或非自由碰撞聚并后的液滴振蕩，即聚并過程因素對液滴振蕩的影響被人為忽略簡化，但實際工業多相流操作過程中的液滴聚并多為自由碰撞的結果，因此，本文在此基礎上考察了二元液滴自由碰撞聚并后的振蕩行為，圍繞振蕩過程的周期性以及阻尼衰減開展聚并前后關鍵過程因素的影響研究，并與現有理論模型進行對比討論。相關研究與現有流體顆粒動力學行為研究形成補充，更具實際應用價值。

1 實驗材料和方法

1.1 實驗藥品

實驗采用歐洲化學工程聯合會（EFCE）推薦的標準萃取體系甲苯-水。實驗有機相甲苯由國藥集團化學試劑有限公司提供，為分析純藥劑，其純度大于99.5%；水相采用超純水，由去離子水經超純水機（英國ELGA 公司，ELGA PURELAB Classic）處理制備，其電導率小于0.5 μS·cm-1。該萃取體系屬于中界面張力體系，兩相不同溫度條件下的物性參數[31]如表1所示。

1.2 實驗裝置

實驗裝置由液滴發生器、水槽和高速攝像系統組成，如圖1 所示。其中，實驗方槽尺寸為150 mm×150 mm×200 mm，并設有水浴夾套，采用SPH CH1015 型恒溫水浴槽控制體系溫度，控溫精度為±0.1℃。方槽頂部設置豎直放置的304不銹鋼管，并由穿孔橡皮塞固定，不銹鋼管與玻璃注射器之間采用聚四氟乙烯管連接。實驗高速攝像機為日本Photron 公司的Photron FASTCAM Mini AX 200，相機分辨率為896×896，拍攝速度6400 幀/秒，焦距景深2 mm，并采用鹵素燈作為實驗光源。

1.3 實驗過程

圖1 實驗裝置Fig.1 Experimental device

實驗液滴大小主要通過304不銹鋼套管直徑進行調節。具體實驗過程中，首先選定304 不銹鋼液滴套管直徑，并通過循環水浴槽控制方槽超純水溫度至設定值，有機相甲苯由注射器以短脈沖形式注入方形水槽內，在注射外力作用下形成連續的單個甲苯液滴，不同時間階段形成的甲苯液滴具有不同的自由運動速度，并在連續相中隨機發生自由碰撞與聚并作用，進而觀察液滴聚并后的振蕩行為。高速攝像機完整記錄周期內的液滴碰撞、聚并、振蕩行為變化過程如圖2 所示：液滴首先相互靠近發生碰撞，并形成液滴間液膜，而后液滴聚并過程發生，以液膜破碎為起始點形成聚并橋并進一步發展，與此同時，聚并后液滴在聚并方向及聚并垂直方向產生周期振蕩行為，直至最終的球形或橢球形穩定狀態。由圖中結果可判斷，液滴振蕩過程存在明顯的周期性及阻尼衰減效應。

1.4 數據處理

實驗過程中，液滴動力學行為演化由高速攝像機高頻拍攝記錄。液滴聚并前后液滴直徑、相對位置、碰撞角度等參數采用配套Photron FASTCAM Viewer（簡稱PFV）商業軟件直接測量獲得，并以碰撞前5 ms 時間內的平均速度作為碰撞時液滴相對速度計算依據。對于液滴聚并后振蕩行為，Ata[32]研究結果顯示可采用液滴在拍攝平面內的投影面積表示液滴表面能，并提出如式(1)所示的投影面積隨時間變化關系，用以描述液滴振蕩過程。

式中，A 表示無量綱的瞬時相對投影面積；A0表示無量綱的初始相對投影面積；β 表示阻尼系數，取決于流體及界面特性，反映振蕩的快慢,m·s-1；ω 表示角頻率，即振蕩完成一個周期的速度，反映振蕩的劇烈程度, m·s-1；φ 表示相位移，B 表示積分常數，兩者與液滴振蕩起始位時刻選擇有關。

表1 甲苯-水體系物性數據Table 1 Physical properties of toluene-water

圖2 二元自由液滴碰撞聚并及其阻尼振蕩過程Fig.2 Free binary droplets collision,coalescence and its oscillatory behavior

依據上述結果，液滴振蕩行為研究主要采用ImageJ 軟件進行數據提取分析，通過液滴圖形像素統計計算拍攝平面內的液滴投影面積，并獲得投影面積隨時間變化關系，以此解析液滴振蕩周期性與阻尼機制，其中像素識別誤差為0.0378 mm。具體數據處理過程中，液滴振蕩以聚并橋發展完全后投影面積最大時刻作為起始點，并以振蕩后穩定液滴作為投影面積無量綱化標準。基于上述分析步驟獲得的液滴阻尼振蕩過程解析結果如圖3 所示，實驗值與擬合結果的吻合有效說明了數據處理的合理性。

圖3 實驗數據擬合處理結果Fig.3 Fitting results of experimental data and theoretical model

2 實驗結果與討論

依據Ata[32]關聯式式(1)，液滴振蕩存在明顯周期性和阻尼機制。對此，本文圍繞阻尼系數β 與振蕩周期T（T=2π/ω）兩個主要物理量，在15、25 和35℃條件下首先考察了聚并后液滴等效直徑、運動速度、液滴Reynolds數對振蕩過程的影響，結合理論推導模型進行擬合對比討論。在此基礎上，進一步考察了聚并前二元液滴Reynolds數對其聚并后振蕩參數離散性的影響，以明晰聚并過程對液滴振蕩的影響機制。

2.1 聚并后液滴參數對其振蕩過程的影響

2.1.1 等效直徑對振蕩過程的影響 針對直徑d1和d2的液滴碰撞聚并，本文采用等效直徑deq計算式(2)考察了聚并后液滴等效直徑對其振蕩周期和阻尼系數的影響，相關結果分別如圖4 和圖5 所示，其中誤差棒表示模型擬合回歸參數95%置信區間范圍。

由圖中結果可知，隨著聚并后液滴等效直徑的增加，其振蕩阻尼系數相應減小，而振蕩周期隨之增大，同時，阻尼系數隨液滴等效直徑的變化關系呈近似反比例函數關系，振蕩周期與等效直徑則基本呈線性正相關，由此可知液滴直徑是影響其振蕩過程的關鍵參數。此外，不同溫度條件下的液滴振蕩特性參數呈一定程度離散分布，但并未發現明顯規律性差異，由此可判斷，所考察參數范圍內溫度對液滴振蕩行為影響不顯著。

圖4 液滴等效直徑對阻尼系數的影響Fig.4 Effect of droplet equivalent diameter on damping coefficient

圖5 液滴等效直徑對振蕩周期的影響Fig.5 Effect of droplet equivalent diameter on oscillation period

2.1.2 液滴運動速度對振蕩過程的影響 液滴相對于連續相的運動速度是其動力學描述的重要過程參數，由于聚并后液滴相對運動速度變化劇烈，并伴隨明顯形變，統計難度大、精度低，因此，本節依據聚并前二元液滴運動狀態，基于動量守恒進行矢量合成計算，以此近似聚并后液滴相對運動速度，并獲得其對阻尼系數和振蕩周期的影響，相應結果分別如圖6 和圖7 所示。由圖中結果可知，隨著液滴相對運動速度的增加，其振蕩阻尼作用整體隨之衰減，而振蕩周期則呈增加趨勢。相比于液滴等效直徑的影響，液滴相對運動速度作用下的振蕩特性參數離散性明顯增加，這可能歸因于液滴碰撞、聚并并非嚴格的動量守恒過程，計算獲得的液滴相對運動速度作為近似值存在一定偏差。

2.1.3 聚并后液滴無量綱參數對振蕩過程的影響液滴振蕩過程涉及液滴的慣性運動、彈性伸縮與黏性耗散，由此可知慣性力、黏性力、界面張力是主導液滴振蕩過程的關鍵物理參數。對此，基于上述液滴等效直徑和相對運動速度的討論，進一步探討聚并后液滴Reynolds數Red與Weber數Wed對其振蕩過程特性參數的影響。其中，Red和Wed計算形式如下

圖6 二元液滴相對速度對阻尼系數的影響Fig.6 Effect of binary droplets relative velocity on damping coefficients

圖7 二元液滴相對速度對振蕩周期的影響Fig.7 Effect of binary droplets relative velocity on oscillation periods

式中，ρc、μc分別表示連續相流體密度和黏度，deq為液滴等效直徑，ucd為液滴相對于連續相運動速度，σ 為兩相界面張力。不同無量綱參數對液滴阻尼系數和振蕩周期的影響結果分別如圖8 和圖9 所示。就整體變化趨勢而言，液滴阻尼系數隨Reynolds 數的增加而變小，這主要歸因于Reynolds數的增加導致液滴慣性力主導作用加強，其黏性力作用變小，因此阻尼衰減作用相應變弱，液滴阻尼系數與Weber數的遞減變化關系同樣說明了慣性力對阻尼衰減的抑制作用。相比之下，液滴振蕩周期則隨Reynolds 數、Weber 數的增加而逐漸增加，即液滴慣性力與其振蕩周期呈正相關作用。

2.2 實驗結果與理論計算對比討論

2.2.1 液滴振蕩特性參數的理論與實驗對比

Tsamopoulos 等[33]和Abi 等[34]曾依據極向波數n 對液滴、氣泡振蕩過程進行二葉草（n = 2）、三葉草（n = 3）、四葉草（n = 4）形狀分類，并理論推導獲得了更為普適性的液滴振蕩過程數學模型。其中，不同極向波數條件下（n = 2、3、4）的液滴振蕩頻率ωn和阻尼系數βn分別具有如下計算式

圖9 液滴聚并后無量綱參數對振蕩周期的影響Fig.9 Effect of droplets dimensionless number after coalescence on oscillation period

式(5)、式(6)中計算過程的中間參數ωn*、F 和G分別為

式中，ρ 為密度，kg·m-3;r 為液滴半徑，mm;下角標c 和d 分別表示連續相與分散相液滴；上角標^表示連續相與分散相相應參數的比值。依據如圖2所示的液滴形變狀態，則有n = 2，ReD為液滴振蕩Reynolds數，其具體計算形式如下

將二元液滴聚并后振蕩阻尼系數、振蕩頻率的實驗值與式（5）、式(6)理論計算值進行對比，其結果分別如圖10 和圖11 所示。如圖中結果所示，實驗值與理論計算值有著較好吻合，兩者偏差基本位

圖10 實驗與理論阻尼系數對比Fig.10 Comparison of experimental and theoretical damping coefficients

圖11 實驗與理論頻率對比Fig.11 Comparison of experimental and theoretical frequence

于合理誤差范圍內。其中阻尼系數計算值基本在實驗值±40%誤差范圍內均勻分布，振蕩頻率誤差相對較小，但計算結果相較于實驗值而言整體偏高，即計算值主要分布于+20%偏差范圍。液滴振蕩過程特性參數的對比偏差一方面來自于實驗操作誤差，另一方面，液滴自由碰撞、聚并作用對其振蕩行為存在潛在影響，是上述對比偏差潛在因素之一。

2.2.2 二元液滴Reynolds數相對大小對其聚并后振蕩行為的影響 針對上述液滴振蕩頻率、阻尼系數的理論與實驗對比結果，本節以聚并前二元液滴Reynolds 數相對比值為橫坐標，液滴振蕩特性參數實驗與理論計算偏差為縱坐標，以此考察液滴碰撞、聚并過程對其振蕩行為的潛在影響，其結果分別如圖12 和圖13 所示。由圖中結果可知，液滴振蕩過程參數實驗-理論計算偏差與聚并前二元液滴Reynolds 數比值關系無明顯相關性，阻尼系數與振蕩頻率偏差基本呈均勻隨機分布，即液滴自由碰撞、聚并作用與其后續的振蕩行為為相對獨立的液滴動力學過程，過程之間并無實質性影響關系。

圖12 二元液滴Reynolds數比值對阻尼系數偏差的影響Fig.12 Effect of droplets ratio of Reynolds number on deviation of damping coefficient

圖13 二元液滴Reynolds數比值對振蕩頻率偏差的影響Fig.13 Effect of droplets ratio of Reynolds number on deviation of oscillation frequency

3 結 論

本文通過高速攝像機觀測了甲苯-水體系二元液滴自由碰撞聚并后的液滴振蕩動力學行為，針對不同溫度條件下的液滴振蕩過程特性參數進行了實驗與理論分析，其主要結論如下。

（1）二元液滴碰撞聚并后的振蕩行為符合正弦函數波動特性，并存在明顯的阻尼衰減作用，且溫度對其振蕩過程基本演化規律無明顯影響。

（2）以液滴Reynolds 數為量化指標的慣性與黏性作用是控制液滴振蕩過程的關鍵因素。整體而言，液滴慣性力與振蕩周期呈正相關性，而液滴黏性力則主導了振蕩過程的阻尼衰減機制，即隨著Reynolds數的增加，液滴振蕩周期隨之增加，阻尼系數相應減小。

（3）聚并前二元液滴相關參數對聚并后的液滴振蕩行為無明顯影響，即液滴振蕩過程相對獨立于液滴的自由碰撞與聚并作用。

（4）液滴振蕩周期、阻尼系數實驗值與理論模型計算值有著較好吻合，兩者實驗與計算值相對誤差的標準差分別為14.9%和44.9%。

符 號 說 明

d——液滴直徑，mm

deq——液滴等效直徑，mm

F,G——中間參數

r——液滴半徑,mm

T——振蕩周期，ms

u——液滴速度，mm·s-1

μ——液體的黏度，Pa·s

σ——界面張力，N·m-1

下角標

c——連續相

d——分散相

e——實驗值

i——理論計算值