基于全微分法的Buck 變換器建模及控制策略

申高帥，李林凱，董夢雪，閔 閏

（1.華中科技大學 光學與電子信息學院，湖北 武漢 430074；2.上海空間電源研究所，上海 200245）

0 引言

DC-DC 變換器是一種實現(xiàn)電平變換的非線性系統(tǒng)，被廣泛應用于LED 驅(qū)動、混合動力汽車等工業(yè)領(lǐng)域[1-3]。它的建模問題是分析和提升變換器穩(wěn)定性的基礎(chǔ)，因而實現(xiàn)其精確建模具有重要意義[4-6]。對于基于脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation，PWM）的變換器，狀態(tài)空間平均法被廣泛用于模擬其開關(guān)動作。該方法通過對開關(guān)導通和開關(guān)關(guān)斷兩種狀態(tài)進行平均化處理，得到每個開關(guān)周期的電壓電流平均值，進而獲得等效電路模型或小信號模型[7-8]。然而，傳統(tǒng)的建模方法精度有限，這是由于在建模過程中忽略了寄生參數(shù)對電感電流的作用。

為了提升建模精度，本文采用狀態(tài)空間平均和全微分法對Buck 型DC-DC 變換器進行精確建模。建模過程中考慮寄生參數(shù)對電感電流上升斜率、下降斜率的影響，得到了改進的電感電流表達式。通過對輸出電壓、輸入電壓、占空比和負載進行全微分，最終得到了改進的小信號模型。頻譜分析表明，改進模型在中低頻段具有更高的精度。分別基于SSM 和ISSM 模型設(shè)計PID 控制器，仿真結(jié)果表明，基于ISSM 模型設(shè)計的控制器能夠消除輸出電壓過沖，同時改善78%的動態(tài)響應速度。

1 Buck 型DC-DC 變換器的小信號模型

Buck 型DC-DC 變換器是一種能實現(xiàn)降壓的電路，基本結(jié)構(gòu)如圖1 所示。通過脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation，PWM）信號控制開關(guān)S 的導通和關(guān)斷，即可調(diào)整輸出電壓v。控制環(huán)路將輸出電壓v與參考電壓vref相減得到電壓誤差信號ev，進而通過比例-微分-積分（Proportion Integra-tion Differentiation，PID）得到控制信號，并進行PWM 調(diào)制控制開關(guān)的相關(guān)操作。

圖1 Buck 型DC-DC 變換器的基本結(jié)構(gòu)

當S 導通時，二極管處于關(guān)斷狀態(tài)，電感L 左側(cè)電壓等于輸入電壓vg。當S 關(guān)斷時，由于電感電流必須保持連續(xù)，所以二極管被導通，L 左側(cè)電壓等于0。因為在PWM 調(diào)制下S 的導通時間為占空比d，關(guān)斷時間為1-d，所以L 左側(cè)的平均電壓為dvg，而其右側(cè)電壓為v。又因為穩(wěn)定狀態(tài)下的電感電流恒定，所以電感兩端平均電壓相等，進而可得：

可見，在穩(wěn)態(tài)，Buck 型DC-DC 變換器可實現(xiàn)降壓，其輸出電壓與d和vg成正比。然而，式（1）僅適合穩(wěn)態(tài)下的變換器，因為在非穩(wěn)態(tài)條件下電感電流是動態(tài)變化的。因此，需要研究變換器的小信號模型，建立正確的傳輸函數(shù)，用于模擬變換器的動態(tài)特性。

1.1 基本小信號模型

電感電流在動態(tài)調(diào)整過程中是非恒定的，是由電感兩端電壓平均值的積分決定的，而輸出電壓是由電容C 的充放電電流決定的。由于電感電流為電容C 的充電電流，v/R為電容C 的放電電流，所以可得：

式（2）描述了非穩(wěn)態(tài)過程中v和i的變化規(guī)律。考慮i、v、vg、d、R的小信號分量，對式（1）作全微分，可得：

消除中間變量i，可得vg、d、R、v的小信號關(guān)系：

式（4）為v的全微分方程，其中考慮了vg、d和R的影響。由式（4）可得變換器的傳輸函數(shù)：

其中，Gvd為d到v的傳輸函數(shù)，Gvg為vg到v的傳輸函數(shù)，Gvl是R到v的傳輸函數(shù)。可見，Buck 變換器的小信號模型具有3 個輸入：d、vg和R，它們共同決定了輸出電壓v。

1.2 改進的小信號模型

在變換器的SSM 模型中沒有考慮寄生參數(shù)的影響，大大降低了模型的可靠性。為了解決該問題，在建模中考慮寄生參數(shù)對電感電流的影響，進而得到變換器的ISSM 模型。如圖2 所示，電路中主要的寄生參數(shù)包括電感等效串聯(lián)電阻RL、二極管導通電阻RF、二極管正向?qū)妷簐F和開關(guān)電阻Rds。

圖2 考慮寄生參數(shù)的Buck 型DC-DC 變換器結(jié)構(gòu)

考慮寄生參數(shù)的效應，電感兩端電壓在S 導通期間為vg-v-i(Rds+RL)，在S 關(guān)斷期間為-v-i(RL+RF)-vF，因而在一個開關(guān)周期內(nèi)，其兩端電壓平均值為dvg-vi(dRds+RL+d'RF)-d'vF。可見，寄生參數(shù)改變了電感電流的變化規(guī)律：

式（6）是在考慮寄生參數(shù)的條件下，描述了非穩(wěn)態(tài)過程中v和i的變化規(guī)律。為了得到小信號模型，對其作全微分可得：

其中，Req=dRds+RL+d'RF為等效電阻。進一步，約去變量i，可得vg、d、R、v的小信號關(guān)系：

最后，得到改進的傳輸函數(shù)：

由于在改進的小信號模型中考慮了寄生參數(shù)的影響，所以得到了更高的精度。對比式（5）和式（9）可發(fā)現(xiàn)，它們具有不同的增益和零極點。特別地，在SSM 模型中，Gvl(s)具有一個位于原點的零點，這是一個微分系數(shù)，表明輸出電壓的穩(wěn)態(tài)值與負載變化無關(guān)；而在ISSM 模型中，該零點變化為-Req/L，表明輸出電壓的穩(wěn)態(tài)值會受到負載的影響。以上分析將會在仿真中得到驗證。

2 控制參數(shù)整定

變換器環(huán)路通過PID 進行控制。針對參考電壓階躍擾動整定控制參數(shù)，設(shè)閉環(huán)傳輸函數(shù)被調(diào)整為一階的目標函數(shù)，即：

其中，ωn為目標函數(shù)的自然頻率。ωn越大，系統(tǒng)響應速度越快。

對于給定的ωn，可得基于SSM 模型的控制器傳輸函數(shù)為：

考慮寄生參數(shù)的影響，則系統(tǒng)傳輸函數(shù)變?yōu)镚vd'(s)。設(shè)閉環(huán)傳輸函數(shù)被調(diào)整為同樣的目標函數(shù)，即：

則可得基于ISSM 模型的控制器傳輸函數(shù)為：

可見，基于SSM 和ISSM 模型設(shè)計的控制器將具有不同的傳輸函數(shù)，從而獲得不同的比例、微分和積分系數(shù)。由于寄生參數(shù)必然存在于Buck 變換器中，所以基于SSM模型設(shè)計的控制器會受寄生參數(shù)效應影響，從而降低控制性能。而基于ISSM 模型設(shè)計的控制器將具有更高的精度，可以更好地將閉環(huán)傳輸函數(shù)調(diào)整為目標函數(shù)。

3 仿真結(jié)果

為了驗證模型的精度，基于Matlab-simulink 搭建了Buck 變換器的SSM、ISSM 和電路模型。這里電路模型是基于開關(guān)等元器件建立的模型，并且其中包含了各類寄生參數(shù)，因而具有最高的精度。將電路模型作為參考模型，通過對比即可驗證SSM 和ISSM 模型的精度。

3.1 模型驗證

根據(jù)表1 參數(shù)建立模型，分別加入輸入電壓、占空比和負載的階躍擾動，可得輸出電壓響應。分別對占空比擾動、輸入電壓擾動和負載擾動時的輸出電壓響應作頻譜分析，仿真結(jié)果如圖3 所示。

對于占空比和輸入電壓的擾動，當ω＜1e4 rad/s時，3 種模型具有相同的增益和相位特性；當1e4 ＜ω＜3e4 rad/s 時，ISSM 與電路模型具有相同的頻率響應，而SSM 模型存在偏差；當ω＞3e4 rad/s 時，ISSM 與SSM 模型具有相同的頻率響應，兩者均逐漸偏離電路模型。對于負載電阻擾動，當ω＜3e4 rad/s 時，ISSM與電路模型具有相同的頻率響應，而SSM 模型存在較大誤差；當ω＞3e4 rad/s 時，ISSM 和SSM 模型均能較好地模擬電路模型，因而都具有較高的精度。

表1 Buck 變換器主要電路參數(shù)

圖3 輸出電壓的頻譜分析

3.2 控制效果對比

由于寄生參數(shù)效應，基于SSM 和ISSM 模型設(shè)計的控制器參數(shù)將有所不同。設(shè)置ωn=0.3/T，則根據(jù)式（11）得出的控制器參數(shù)為P=0.02、I=2 000、D=5e-6，而根據(jù)式（13）可得控制器參數(shù)P=0.048、I=2 026、D=4.78e-6。為了驗證模型差異對控制效果的影響，分別基于這兩組控制參數(shù)進行電路級仿真。通過引入?yún)⒖茧妷弘A躍，得到的仿真結(jié)果如圖4 所示。

仿真結(jié)果表明：基于SSM 模型設(shè)計的控制器參數(shù)，輸出電壓具有10%的過沖，并在700 μs 后達到穩(wěn)定；基于ISSM 模型設(shè)計的控制器參數(shù)，輸出電壓不存在過沖，在150 μs 內(nèi)即可達到穩(wěn)定。因此，基于ISSM 模型的設(shè)計可以消除輸出電壓過沖，同時可提升78%的輸出電壓動態(tài)響應速度。

4 結(jié)論

本文基于狀態(tài)平均和全微分法，建立了一種適用于CCM 模式Buck 變換器的改進小信號模型。在建模過程中考慮了寄生參數(shù)的影響，提高了其在中低頻段的精度。針對參考電壓的階躍，分別基于SSM 模型和ISSM 模型設(shè)計了PID 控制器。仿真結(jié)果表明，相比基于SSM 模型的控制器，基于ISSM 模型的控制器能夠消除輸出電壓的過沖，同時能夠縮短78%的響應時間。綜上所述，所提出的ISSM 模型對于變換器的分析和控制器設(shè)計具有重要的指導意義。

圖4 參考電壓階躍響應時輸出電壓