基于MATLAB的紙飛機飛行軌跡分析

劉浩　黨尹澤　宋杰　陳劍飛　宋超俊

摘 要：隨著科學技術和國內外航模比賽的發展，紙飛機運動模型因其可運用到各類小型飛行器中而得到越來越多的關注，針對 Suzanne 折法的紙飛機，基于紙飛機的空氣動力學， 運用微分分析方法對無動力滑翔的最佳投擲角度進行了研究。

紙飛機整體飛行階段為周期震蕩衰減過程，在確定紙飛機重心的基礎上分階段進行受力分析，基于能量守恒定律和微分分析得到其不同階段的運動路徑分析公式，建立了其爬升、俯沖和滑翔軌跡的仿真模型。在仿真模型下，基于紙飛機受力分析與運動方程，建立了紙飛機重心調整后的二維動力學模型。用 MATLAB 模擬了在不同拋射角度下的紙飛機的飛行軌跡，根據軌跡趨勢利用單向尋優搜素法得出紙飛機在，飛行距離最長。

最后在模型拓展部分，我們通過加膠帶等改變飛機重心，研究了重心位置對阻力系數的影響，在仿真模型下調整紙飛機重心，基于紙飛機受力分析與運動方程，建立了紙飛機重心調整后的三自由度動力學模型。用MATLAB模擬了在不同重心位置和拋射角度下的紙飛機的飛行軌跡，根據軌跡趨勢利用單向尋優搜素法得出：紙飛機在原來的重心基礎上向x和y方向偏1mm，在投擲角度為20.8°時，紙飛機的飛行距離最遠;在22.4°時，紙飛機的滯空時間最長。

紙飛機飛行距離的影響因素：

（1）質量因素：

1、熟練掌握折疊方法，力求每個折痕一次成功。

2、保持手指干凈、干燥。

3、按照折痕折疊。

4、折好的邊角和舵沒有翹起。通過多次飛行練習實驗我發現在紙飛機折疊的質量比較好而且新的時候飛得遠，在紙飛機用了一段時間后，它飛的就沒以前飛得遠，飛得好了。因此紙飛機質量也決定著紙飛機的飛行距離。如果你想讓你的紙飛機的飛行距離會比較遠，那么你首先要做的就是折疊的一架質量比較好紙飛機，并學會保養并修理它的方法。

（2）人為因素：

影響紙飛機飛的遠近還有人為因素，也就是紙飛機飛的距離遠近，取絕于人用力大小等因素，通過大量的實驗探究我總結出投擲紙飛機的時候一定要注意以下幾點。

1.用力適中：理論上投擲力量越大，飛得越遠，但是實際上力量越大，越不容易做到“水平投擲”和“直線加力”。而且用力過大的話，還容易損壞紙飛機。現場試飛應該逐漸加力投擲，摸索出一個保證投擲技術前提下的最佳投擲力度。

2.放飛高度：站在不同高度放飛紙飛機，通過實驗發現放飛高度也會在一定程度上影響紙飛機飛行距離。

我總結的影響紙飛機飛行距離的因素就以上兩大因素：一、質量因素;二、人為因素。

MATLAB仿真建模：對紙飛機進行受力分析，飛機受重力、空氣阻力、以及向上的升力。

空氣阻力的計算：根據空氣阻力的公式：F=（1/2）CρSV^2 計算.式中：C為空氣阻力系數;ρ為空氣密度;S物體迎風面積;V為物體與空氣的相對運動速度.由上式可知，正常情況下空氣阻力的大小與空氣阻力系數及迎風面積成正比，與速度平方成正比。

飛機升力計算：伯努利原理（又稱伯努利定律或柏努利定律）是流體力學中的一個定律，由瑞士流體物理學家丹尼爾·伯努利于1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿著一條穩定、非黏性、不可壓縮的流線移動行為。 伯努利原理往往被表述為p+1/2ρv2+ρgh=C，這個式子被稱為伯努利方程。式中p為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點所在高度，C是一個常量。它也可以被表述為 ：? p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

由滿足庫塔條件所產生的繞翼環量導致了機翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導出壓力差并計算出升力，這一環量最終產生的升力大小亦可由庫塔-茹可夫斯基方程計算：

L（升力）=ρVΓ（氣體密度×流速×環量值）

根據海姆霍茲旋渦守恒定律，對于理想不可壓縮流體在有勢力的作用下翼型周圍也會存在一個與起動渦強度相等方向相反的渦，叫做環流，或是繞翼環量。

受力分析過后，飛機形狀、大小等對飛機飛行的影響都已知曉，就可以把飛機簡化成質點，求出軌跡公式;水平方向飛機受阻力，豎直方向飛機受重力和升力。

由假設得：（1）飛機左右受力平衡，所以可以簡化為二維模型。（2）每次投擲的力相同，所以每次投擲的初速度v0相同，則：

vx0=v0*cosθ;（1）

vy0=v0*sinθ;（2）

由阻力公式：F=（1/2）CρSV^2、升力公式：L=ρVΓ、重力加速度g、牛頓第二定理F=ma，求出速度、位移公式：

vx=vx0+at;（3）

vy=vy+bt;（4）

x=vx0t+1/2at^2;（5）

y=vy0t+1/2bt^2。（6）

模型：

（1）將投擲角度θ∈[0°，90°]平均劃分為6個區間，從每個區間內取出一個角度，導入MATLAB，仿真得出最大位移對應的投擲角度區間。

（2）將上面得出的投擲角度區間再劃分為6個區間，從每個區間內取出一個角度，導入MATLAB，仿真得出最大位移對應的投擲角度區間。

（3）以此類推……直至得出最遠位移，得到最佳投擲角度。

6、模型求解

下圖為投擲角度θ=0°、45°、90°的仿真圖（其余角度僅進行仿真對比）：

（1）進行模型仿真得出最大位移區間為[25°，45°]，

（2）以此類推進行多次仿真，得出最大位移的投擲角度為29°。最大位移所得的仿真圖

（3）綜合以上優化結果，可得到此題的答案：在高度和初速度一致的情況下，當投擲角度為29°時，紙飛機的飛行距離最遠約為65.5m.

7、模型優缺點分析

優點：運用仿真，可以排除外界環境干擾，精確求值。

缺點：過程繁瑣。