有限差分法求解一維非穩態導熱問題研究

摘 要 本文針對導熱問題中的一維非穩態導熱，引入一維熱傳導方程。利用有限差分法中的差商公式對一維熱傳導方程進行差分化并將差分格式矩陣化。對有限差分法做了應用舉例，利用MATLAB編程求出已知定解條件的一維非穩態導熱問題的數值解。最后對有限差分法的適用范圍做了推廣。

關鍵詞 有限差分法;一維熱傳導方程;數值解

1 一維非穩態導熱問題

1.1 一維熱傳導方程

導熱、對流和輻射是熱量傳遞的三種基本形式。其中，導熱是指物體的各部分之間不發生相對位移，僅依靠分子、原子和自由電子之類的微觀粒子的熱運動引起的熱量傳遞過程[1]。類似于電磁場和重力場，傳熱的物體中存在著溫度場。物體的溫度場是指物體在不同時刻各空間點處的溫度分布總稱。根據物體溫度場的不同來劃分，一維非穩態導熱是指溫度場空間分布為一維，同時還具有時間分布的導熱方式。工程領域中諸多導熱問題可以抽象成一維非穩態導熱，其中涉及一個重要的模型，即長寬遠大于厚度的平壁導熱模型。

考慮上述平壁導熱模型，其溫度僅在厚度方向上有差異。設溫度函數為關于平壁厚度和時間的二元函數。根據文獻[1]中的推導，有如下關系方程：

（1-1）

此即為一維非穩態導熱的偏微分方程，又稱一維熱傳導方程。其中常數，被稱為熱擴散率，和分別為材料的導熱系數、比熱容和密度。

1.2 一維非穩態導熱的定解條件

通過求解熱傳導方程，能夠得到非穩態導熱物體的溫度場在時間和空間上的分布情況。當然，為求解熱傳導方程，還需要加入特定導熱問題的定解條件。對于一維非穩態導熱問題，定解條件分為初始條件和邊界條件，初始條件為零時刻時溫度在不同空間位置的分布，邊界條件為物體兩端邊緣處溫度在不同時刻的分布。

一維非穩態導熱問題涉及偏微分方程的求解，往往不能得到解析解或解析解形式過于復雜，一般考慮采用有限差分法來求其數值解。有限差分法是解決偏微分問題的常用方法之一，其本質是基于差分的思想，將微分和導數用差分和差商來近似代替。由于有限差分法是將自變量和函數值離散化，因此其能與計算機軟件相結合，通過計算機編程來求解結果從而減輕人工計算量。

2 有限差分法求解

2.1 有限差分法中的差商公式

為方便描述，取一元函數為研究對象。將其區間等分，得到一組離散化后的自變量點，即，定義步長為相鄰兩點的距離。以下利用泰勒公式推導一階和二階導數的差商公式：

將在處進行一階泰勒展開，即：

（2-1）

忽略無窮小項，則在處的一階導數可以用差商來表示：

（2-2）

此即為一階導數的前向差商公式。同理，可將在處進行一階泰勒展開，忽略無窮小項整理后得：

（2-3）

此即為一階導數的后向差商公式。同理將和分別在處進行二階泰勒展開，將展開后的兩式相加，忽略無窮小項整理后得：

（2-4）

此即為二階導數的中心差商公式。

由此，對于函數，其在各個離散點處的一階導數和二階導數都可以用對應的差商公式來表示。而對于偏微分方程中的一階偏導數和二階偏導數，仍然可以用上述一階和二階差商公式來表示，進而可以整理出原函數的差分格式，這也是有限差分法求解一維熱傳導方程的核心思想。

2.2 有限差分法的求解過程

考慮一維非穩態導熱問題中的平壁模型，設關于時間和厚度的溫度函數為，平壁的厚度為，導熱的總時間為，平壁的導熱系數、比熱容和密度皆為已知常數。可建立如下數學模型：

（2-5）

其中為定解條件中的初始條件，給出了時刻溫度的分布情況;為定解條件中的邊界條件，給出了平壁兩邊界處溫度隨時間的分布情況。有限差分法的求解過程可分為以下3個步驟：

（1）定義域的離散化

將定義域區間和分別進行和等分，定義表示空間步長，表示時間步長，則。自變量和離散化后的點為：

（2）熱傳導方程的差分化

用離散化后的點來表示熱傳導方程，即：

（2-6）

根據二階導數的中心差商公式，有：

（2-7）

根據一階導數的前向差商公式，有：

（2-8）

將式（2-7）和（2-8）代入式（2-6）中整理后得：

（2-9）

令常數，同時將簡寫成的形式，則上式為：

（2-10）

這便是熱傳導方程的差分格式。上式中為防止和等超出區間邊界，應將取值范圍調整為：且。上述差分格式提供了溫度的迭代計算方法，時間上的迭代為，空間上的迭代為。

（3）差分格式的矩陣化

將差分格式矩陣化是為了方便計算機編程求解，上述差分格式為線性表達式，改寫成矩陣形式如下：

最右邊向量中的表示兩個邊界條件。上述涉及的常量反映了時間步長與空間步長的二次方的比值，又被稱為步長比。應當注意，由于上述差分化時一階偏導采用的是前向差商公式，步長比應當滿足，否則差分格式不穩定[2]。若具體問題中不能通過調整步長來滿足上述穩定性條件，則可考慮采用后向差商公式對一階偏導數做差分化處理。

2.3 已知定解條件的案例應用

用一個簡單的例子來應用上述方法。將120mm厚的普通磚墻考慮成一維非穩態導熱的平壁，部分性能參數參考普通磚給出，即導熱系數，比熱容，密度，由此可求得熱擴散率。設定空間步長1mm，時間步長1s，則步長比，滿足上述差分格式的穩定性條件。

定解條件從以下虛設環境中確定：考慮夏天空調房間的外墻墻壁（忽略面層），墻壁外側溫度恒為室外空氣溫度36℃，內側溫度恒為室內空氣溫度25℃，假設初始時刻墻壁內溫度為25℃。

設該平壁溫度分布函數為，厚度為（單位：mm），導熱時間為（單位：s），結合以上條件可建立一維非穩態導熱數學模型：

（2-11）

利用上述差分格式的矩陣形式，在MATLAB中編程計算，求出不同導熱時間下（）的墻壁內溫度場隨時間空間的分布情況。為了將數值結果更直觀地展示出來，繪制成三維圖像如下：

3 結束語

有限差分法求解一維非穩態導熱問題具有直觀、易于操作的特點，且能夠很好地與計算機軟件相結合，既減少人工計算量，又能將計算結果通過三維圖像展示出來。有限差分法同時還能解決定解條件為復雜函數的一維或多維非穩態導熱問題，而對于具有多個不同熱傳導方程的導熱問題（如多層平壁非穩態導熱），也可利用有限差分法結合定解條件和銜接條件求出溫度分布的數值解。

參考文獻

[1] 楊世銘，陶文銓.傳熱學（第四版）[M].北京：高等教育出版社， 2006：19.

[2] 徐建良，湯炳書.一維熱傳導方程的數值解[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2004，3（3）：40-44.

作者簡介

韓家玄（1999-），男，安徽蒙城人;華僑大學土木工程學院在讀本科生。