基于壓電驅動器的Stewart微動平臺遲滯補償和解耦控制研究*

何亞林,趙新龍

（浙江理工大學 機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

Stewart微動平臺由動平臺、定平臺和連桿通過鉸鏈鏈接而成，可以實現6自由度運動。其作為一種并聯機器結構，具有結構剛度大、位置精度高、載重比高等優點，被廣泛應用于電子元件生產中的夾持系統、精密機床中的刀具控制和鉆銑等領域。

在驅動方面，Stewart平臺常采用電液驅動方式。電液驅動方式精度較低，壓電驅動器則具有高分辨率、高帶寬、執行速度快等特點，能實現亞納米范圍內的運動。然而，壓電驅動器固有的遲滯特性會影響平臺的控制精度，引起振蕩甚至會造成系統不穩定。另一方面，Stewart微動平臺具有強耦合性，采用常規的方法難以實現基于壓電執行器的Stewart微動平臺的精確控制。

在建模方面，用于Stewart平臺的動力學方法主要有Newton-Eular法、Lagrange法和Kane法等。其中，Newton-Eular法因比較直觀，應用最為廣泛。DO等[1]基于Newton-Eular法建立了忽略關節摩擦和支腿軸向轉動慣量時的逆動力學模型；DASGUPTA等[2]在充分考慮慣性和支腿摩擦的基礎上，提出了改進的Newton-Eular閉環動力學模型；LEE等[3]考慮了支腿的柔性作用,采用Lagrange方法對Stewart平臺進行了動力學建模；焦健等[4]采用基于Kane方程的方法，結合虛功原理推導了Stewart平臺的動力學方程。對壓電驅動的Stewart平臺，必須結合遲滯補償才能更準確地實現壓電驅動Stewart平臺的建模。

在控制器設計方面，由于Stewart平臺的強耦合特性和復雜非線性會影響Stewart平臺的工作，造成系統的不穩定，控制器設計問題一直是該平臺的研究重點。目前，主要有基于主動干擾抑制（ADRC）的干擾解耦控制和基于干擾觀測器（DOB）的控制[5]。但是該類方法需要建立逆動力學模型，控制器參數復雜。YANG[6]通過建立多通道數學模型對耦合特性進行了定性分析，并設計了耦聯系統控制器；MA等[7]在利用Kane方法建立了系統多體動力學模型，設計了多體伺服控制器，找出并解決了自由度之間耦合的對應關系；LIN[8]基于等價輸入干擾（EID）方法，同時抑制了多個干擾，并且不需要先驗擾動信息。

對壓電驅動Stewart平臺，遲滯特性和耦合特性的相互結合影響控制精度進一步增加了控制器設計的難度，常規的建模和控制方法不再適用。

本文首先引入雅可比矩陣的逆和系統動力學逆模型，在輸入端對系統進行解耦；然后用Bouc-Wen模型描述壓電驅動器的遲滯特性[9]，利用逆模型方法實現對遲滯特性的補償；最后在遲滯補償和輸入端解耦的基礎上設計控制器。

1 系統建模

Stewart微動平臺結構圖如圖1所示。

圖1 Stewart微動平臺結構圖

圖1中，壓電驅動器利用萬向節和平臺、底座鏈接，通過伸縮運動驅動動平臺運動，從而在三維空間中實現6自由度的運動[10]。

筆者首先建立動坐標系Op-XpYpZp和靜坐標系O-XYZ。兩坐標系原點分別為動、靜平臺的質心，坐標平面OpXpYp與動平臺重合，坐標平面OXY與靜平臺重合，Zp軸和Z軸垂直OXY平面豎直向上。

在對平臺進行控制時，需要從任務空間轉換至關節空間。任務空間采用位姿q=[xpypzpαβγ]T進行描述，關節空間采用l=[l2l2l3l4l5l6]T進行描述。支腿i上端坐標為[PixPiyPiz]T，下端坐標為[OixOiyOiz]T。計算長度時，需要統一坐標系，即通過轉換矩陣將動坐標系Op-XpYpZp中的坐標轉換到靜坐標系O-XYZ中。變換矩陣為：

（1）

式中：Sα=sinα，Cα=cosα，其他類似；xp，yp，zp—動坐標系原點在靜坐標系中的坐標；α，β，γ—動平臺沿Xp軸、Yp軸、Zp軸的旋轉角度。

將動坐標系中的坐標轉換至靜坐標系后為：

（2）

根據支腿兩端坐標，可得支腿長度為：

（3）

采用拉格朗日方程法建立6自由度動力學模型為：

（4）

（5）

q=[q1q2q3q4q5q6]T=[xpypzpαβγ]T

（6）

F=[F1F2F3F4F5F6]T

（7）

（8）

M=diag[mmm]I=diag[IxIyIz]

（9）

式中：m—上平臺質量；Ix，Iy，Iz—上平臺繞3個坐標軸x、y、z的轉動慣量。

式（4～5）中各個算式的具體表達式為：

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

然后對壓電驅動器采用Bouc-Wen遲滯模型[11-12]進行描述，其數學關系為：

（15）

式中：A—控制幅度；B、T—控制遲滯環的形狀[13]的參數；k—增益；U—壓電驅動器的輸入電壓；η—中間變量。

聯立式（4，5，15），基于壓電驅動器的Stewart微動平臺的完整數學模型為：

（16）

2 控制器設計

基于輸入端解耦和遲滯補償的Stewart控制系統原理圖如圖2所示。

圖2 系統原理圖

首先筆者通過位姿反解，完成從任務空間到關節空間的轉換。根據支腿兩端在動、靜坐標系中的坐標計算可得到預期支腿長度lr。

再引入系統的逆模型進行解耦[14]，通過雅可比矩陣的逆和系統動力學逆模型完成解耦過程。fr表示期望輸出驅動力，即：

（17）

對Bouc-Wen遲滯模型逆運算，得:

（18）

最后，將反饋回的實際驅動器驅動力f和實際支腿長度l與預期值進行比較，通過積分分離PID控制算法形成閉環控制，以保證系統的穩定性。

3 仿真及結果分析

為了驗證控制器的有效性，筆者對定點運動（即階躍響應）和連續運動進行仿真分析，采用積分分離PID控制器形成閉環控制。其參數取Kp=4×104，Ki=90，Kd=1×103。遲滯補償器參數取A=1.2，B=0.05，T=0.01，k=1.5。

圖3 定點運動響應曲線

圖4 定點運動誤差曲線

（2）期望軌跡為正弦函數擬合的周期性連續運動，即位姿為：

圖5 連續周期運動響應曲線

圖6 連續周期運動誤差曲線

由此可見，在經過解耦控制和遲滯補償后，系統的響應曲線良好。

由圖（3，4）可知：在0.5 s左右，定點運動到達指定位姿，并且誤差接近于0；響應速度較快且最終誤差幾乎為0。

由圖（5，6）可知：當平臺啟動后，在進行連續周期運動時，6個支腿長度變化曲線也呈周期性變化，動態定位誤差皆為5%以內，且不會引起系統振蕩，可見達到了穩定的控制效果。

4 結束語

針對壓電驅動器的Stewart微動平臺同時存在強耦合性和遲滯特性的特點，筆者采用拉格朗日方程法建立了壓電驅動Stewart平臺動力學模型，先通過旋轉變換矩陣進行位姿反解，得出了Stewart平臺各支腿長度，再設計了基于平臺的輸入端解耦和遲滯逆模型補償的控制器，對Stewart微動平臺實際輸出進行了定點運動狀態和連續運動狀態的跟隨。

最終的實驗結果表明，該控制器能對Stewart平臺實現穩定良好的控制效果。