橢圓模型在共點力動態分析中的應用

曹 盼

(延安市安塞區高級中學，陜西 延安 717400)

共點力的動態分析是高考的一個熱點,通常有函數和圖解兩種方法．函數法最常規,不過有時推導過程和單調性分析比較復雜;圖解法比較流行,具有快速直觀獲得結果的優點,其巧妙性往往給人以耳目一新的感覺．力的矢量合成圖解構型從直角三角形、相似三角形到圓,近幾年橢圓又頻頻出現,幾何在物理中的應用越來越廣泛．本文以3道高考真題和一道東北聯考題為例,先引入橢圓的一條光學性質,然后利用橢圓及其輔助圓求解共點力的動態分析問題．

1 橢圓的一條光學性質及其證明

圖1

文獻[1]直接用到了橢圓的一條光學性質:過橢圓任意一點作切線,其法線一定平分該切點與兩焦點連線的夾角．結合光的反射定律,可知從一個焦點發出的光線經橢圓的內表面反射必過另一個焦點．考慮到物理的溯源傳統和證明方法的啟發性,這里給出該性質的一種證明．如圖1,在橢圓中將F1P延長PF2的長度到Q,則F1Q=2a．以F1為圓心、2a為半徑做一個輔助圓．連接F2Q交橢圓的切線PK于K點,為了證明Q是F2關于切線的像點,只要證明F2Q⊥PK結合PF2=PQ就能得到△PF2K≌△PQK．

kk′=-1.

(1)

根據P的坐標可知

代入(1)式有

兩邊平方結合c2=a2-b2得

b2x02+a2y02=a2b2,

圖2

2 橢圓在共點力動態分析問題中的應用舉例

圖3

例1.(2018年浙江省高考題)如圖3所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點水平距離為16 m,豎直距離為2 m,A、B間繩長為20 m．質量為10 kg的猴子抓住套在繩上的滑環從A處滑到B處．以A點所在水平面為參考平面,猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為(繩處于拉直狀態)

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J. (D) -2.0×102J.

圖4

解析:忽略滑環受到的摩擦,小猴子在下落過程中只有動能和重力勢能相互轉化,其機械能守恒．當重力勢能最小時,猴子的動能最大,此時猴子受到繩兩端的拉力在水平切線PK上合力為0,記AP和BK的延長線交于Q．由于繩子兩端拉力(張力)相等,因此合力方向平分∠BPA并垂直于切線,由平行線關系易得∠PQK=∠PBK,如圖4,容易證明△PQK≌△PBK．

圖5

思考:解析中利用能量轉化的模糊說法說明機械能守恒,能否從做功的角度做出判斷?小猴子到A、B兩點之間的距離等于繩長,其運動軌跡是一個以A、B為焦點的橢圓,如圖5．由于繩兩端的拉力相等,其合力必定在∠BPA的平分線上,根據前文橢圓的光學性質,沿BP的光線反射后一定沿PA方向,其法線與橢圓的切線垂直,因此繩兩端拉力的合力與切線(速度方向)始終垂直(不限于最低點),繩子的拉力對小猴子不做功,小猴子的機械能守恒,是一個動態不平衡的過程．

例1.(多選)(2018年東北三省四市名校聯考)如圖6所示,兩根輕繩一端系于結點O,另一端分別系于固定圓環上的A、B兩點,O點下面懸掛一質量為m的物體,繩OA水平,拉力大小為F1,繩OB與OA夾角α=120°,繩OB拉力大小為F2,將兩繩同時緩慢順時針轉過75°,并保持兩繩之間的夾角α始終不變且物體始終保持靜止．則在旋轉過程中,下列說法中正確的是

圖6

(A)F1逐漸增大.

(B)F1先增大后減小.

(C)F2逐漸減小.

(D)F2先增大后減小.

解析:本題是動態平衡問題,設OA與水平方向(向左為正)的夾角為θ,隨著θ的增大,兩繩拉力的大小和方向都在變化,可用函數的方法求解,這里嘗試利用圖解法．注意到兩繩夾角等于120°,如果兩力大小相等,其合力大小必等于這個相等的值F、方向平分∠AOB．這樣就可以把兩繩拉力的合力等效成沿平分線上的F和多出來的部分ΔF,從而轉化成一個F、ΔF和重力G的3力平衡問題,力的矢量合成三角形如圖7(a).

圖7

當θ<30°時,由圖7(a)知F2>F1且F2=F1+ΔF．隨著θ的增大,F和 ΔF的夾角不變,其對邊mg大小不變;夾角不變很容易使人想到圓的一條弦對應的圓周角不變,F2為兩邊之和又使人想到橢圓模型,綜合考慮,前文橢圓的輔助圓是一個嘗試的方向．將F延長ΔF的長度,剛好得到F2(F+ΔF),如圖7(b)．利用易化物理軟件[2-3]作出力的動態矢量三角形,如圖8(a)．

當30°<θ<75°時,由圖8(b)知F2

(a)

(b)

思考:根據經驗能用圓分析的動態平衡問題往往函數法也不難．觀察圖8發現兩繩的拉力可由輔助圓的半徑結合三角函數直接得出,如圖9(a)、圖9(b)．

圖9

圖10

(A)MN上的張力逐漸增大.

(B)MN上的張力先增大后減小.

(C)OM上的張力逐漸增大.

(D)OM上的張力先增大后減小.

圖11 圖12

由圖12容易看出,隨著θ增大,FMN(虛線)逐漸增大(不超過直徑),FOM(實線)先增大(到直徑)后減小,選項(A)、(D)正確．根據前面的經驗,能用圓分析的動態平衡問題函數法也不難．實際上,在力的矢量三角形中,已知兩個角度和一條邊,可以嘗試利用正弦定理求解．

3 結束語

在共點力的動態分析問題中充分利用可變因素的特殊性(如力的大小相等、夾角不變和120°等等)構造橢圓或輔助圓,既有利于直觀地求解問題,又能為函數法提供思路,從而能夠開闊學生的思維．