對“簡捷求解一類勻強電場典型問題的解析式”再探討

郭 威

(南平第九中學，福建 南平 353001)

圖1

圖2

1 提出問題

該文中開頭闡述的“高中物理教學中常見這樣一類勻強電場的典型問題：假設勻強電場的電場線與某平面共面，已知該平面上某幾點的電勢數值，要求解場強的大小和方向”是一個普通性的問題，而所舉的實例“2017年全國高考課標Ⅲ卷的第21題”的兩個分場強是相互垂直的，如果這兩個分場強不垂直，這種簡捷求解一類勻強電場典型問題的解析式還成立嗎？

2 研討論證

圖3

針對這類勻強電場的電場強度，我們把2017年全國高考課標Ⅲ卷的第21題進行情景改編：一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c3點的電勢分別為10 V、17 V、26 V，ac=8 cm，bc=6 cm，ac與bc的夾角為120°，如圖3所示，求電場強度的大小.

先分別求出ca和cb方向的電場分量

2.1 正交分解法

如圖4建立直角坐標系，

圖4

2.2 矢量合成法

如圖5用平行四邊形法則進行矢量運算，

2.3 等電勢法(電勢等分法)

圖6

把最高電勢點c和最低電勢點a連線等分，如圖6，由比例關系可知在ac線上與17 V電勢相等的p點位于距離c點4.5 cm處，連結pb，pb即為17 V的等勢線，過c作pb的垂線，垂足為d，即cd方向為勻強電場方向.根據三角形面積可知

(1)

(2)

(3)

由(1)～(3)得E≈3.51 V/cm.

由上述3種方法求解該電場強度大小可以看出，第一和第二方法結果相同，那是由于第一種與第二種方法其實就是一個原理，所以結果是相同，而第三方法就是《簡捷求解一類勻強電場典型問題的解析式》一文中提到的“等電勢法”，從數學上看是一種幾何法，本題改編后沒有特意修改相應數據，步驟的確比較繁瑣，等電勢點的尋找和幾何計算的確很費事，求解過程中的難度也的確相當大，但第三種方法的運算過程雖繁但結果卻是本題的最終答案.綜上分析可知，《簡捷求解一類勻強電場典型問題的解析式》一文遇到兩分場強不相互垂直時是不適用的，其解法只是一種特例，即兩場強分矢量相互垂直時恰好可行.

3 擴展延伸

圖7

從上面第三種解法求解這一類勻強電場典型問題，即假設勻強電場的電場線與某平面共面，已知該平面上某幾點的電勢數值，要求解場強的大小和方向，在兩場強分矢量相互不垂直的情況下，這兩分矢量場強是合場強的分量嗎？毋庸置疑，只不過這兩個分矢量是合場強兩組正交分解中兩分矢量中其中的一個分量，直接用這兩個分矢量進行合成與分解，明顯張冠李戴.根據電磁學中靜電場電場強度與電勢梯度之間的關系，[2]即電勢φ的負梯度等于電場強度E，將E沿勻強電場所在平面的兩個直角坐標軸正交分解出兩組分矢量，[3]如圖7中Eca和Ecb分別為兩組分矢量中其中的一個分矢量.為此，我們就可以用下面的方法來找出合場強的大小與方向.

圖8

如圖8，過Eca的矢量末端A作Eca的垂線，過Ecb的矢量末端B作Ecb的垂線，兩垂線的交點為O，cO方向為合場強的方向，根據幾何知識可知AOBc4點共圓，

(1)

(2)

根據余弦定理

(3)

根據正弦定理

(4)

(5)

根據圓的幾何性質可知

∠cOB=∠cAB,

(6)

由(1)～(6)式得

這個結果與“等電勢法”結果完全一致.

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