用動(dòng)能導(dǎo)數(shù)法推導(dǎo)做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的有心力及能量

邵 云 竇 瑾

(南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院,江蘇 南京 211171)

在已知軌道方程的情況下,多數(shù)教科書[1-3]都是采用比耐公式來求有心力.本文這里則介紹一種用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能Ek對徑向矢徑r求導(dǎo)的方法來求有心力,姑且稱作動(dòng)能導(dǎo)數(shù)法,推導(dǎo)出做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的平方反比引力,同時(shí)給出能量的統(tǒng)一表達(dá)式.其中質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量J守恒是推理的前提,設(shè)其大小為

J=mh，

(1)

其中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,h為常量.[1]

1 從極坐標(biāo)軌道方程計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

圖1 質(zhì)點(diǎn)P的圓錐曲線運(yùn)動(dòng)

設(shè)質(zhì)點(diǎn)P做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)如圖1所示,極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O位于近焦點(diǎn),p為半正焦弦長度,e為偏心率,則在圖中的極坐標(biāo)系下圓錐曲線的方程可表為

(2)

質(zhì)點(diǎn)P的動(dòng)能可表為

(3)

角動(dòng)量J可表示為

(4)

其中er和eθ分別為圖中極坐標(biāo)系的徑向和橫向單位矢量(圖中未畫出).對比式(1)和式(4)可得

(5)

將式(3)變形可得

(6)

將式(5)代入式(6)得

(7)

可見,若將軌道方程r=r(θ)代入式(7)即可算得質(zhì)點(diǎn)在軌道上任一點(diǎn)的動(dòng)能.

2 將動(dòng)能對矢徑求導(dǎo)得有心力

有心力F一般都是保守力,可寫成

F=F(r)er.

(8)

形式,其勢能函數(shù)可寫成Ep(r)形式,它們之間的關(guān)系為

(9)

質(zhì)點(diǎn)P(或系統(tǒng))的能量為

E=Ek+Ep(r).

(10)

它是一守恒量.從式(10)可見,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能Ek必定也是矢徑r的單值函數(shù),即有

Ek=Ek(r).

(11)

聯(lián)立式(9)、式(10)即得

(12)

可見,只要算得動(dòng)能函數(shù)Ek(r),對其求導(dǎo)即得保守有心力F(r).

3 做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、有心引力、勢能和總能量

現(xiàn)將圓錐曲線方程式(2)代入動(dòng)能的計(jì)算式(7)得

(13)

此即質(zhì)點(diǎn)在圓錐曲線軌道上任一點(diǎn)的動(dòng)能,它誠然是r的單值函數(shù).將式(13)代入式(12)即得有心力

(14)

可見,圓錐曲線軌道所對應(yīng)的有心力是平方反比引力(負(fù)號表示引力).聯(lián)立式(9)和式(14)得該引力所對應(yīng)的勢能函數(shù)為

(15)

其中已令無窮遠(yuǎn)處的勢能為0,即Ep(∞)=0.再將式(13)和式(15)代入式(10)得

(16)

從式(14)和式(16)可見,無論有心力F(r)還是總能量E,它們不僅依賴于軌道的形狀(p和e),而且依賴于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m和角動(dòng)量J(=mh).

4 用動(dòng)能導(dǎo)數(shù)法求有心力及總能量的優(yōu)勢

雖然通過比耐公式(u=1/r)

(17)

5 對第3節(jié)中結(jié)果的討論

是一與軌道無關(guān)的內(nèi)稟常量.這就表明:此時(shí)的角動(dòng)量大小J=mh是由半正焦弦長p來表征的,而能量E的大小則由軌道參量a或a′唯一地確定.

6 結(jié)束語

在通常的教科書中,應(yīng)用比耐公式從軌道方程推導(dǎo)有心力問題的思路是:軌道方程→有心力→勢能→總能量→動(dòng)能.而本文應(yīng)用動(dòng)能導(dǎo)數(shù)法的推理思路卻是:軌道方程→動(dòng)能→有心力→勢能→總能量.這兩種推理方法各有優(yōu)點(diǎn),前者的優(yōu)點(diǎn)在于從軌道方程推導(dǎo)有心力的思路更直接,而后者的優(yōu)勢則在于通常計(jì)算簡便,諸物理量的含義更清晰.