長方體水箱系統重心形心推導研究

仲逸倫

【摘 要】本文主要針對給定水箱在水下不同情況的重心和形心之間的距離計算展開研究。首先根據形心不隨物體轉動而變化的特點，選擇轉軸為原點，建立坐標系，并將三維轉化成二維，得到形狀的坐標后，根據不同形狀進行重心表達式的推導，其次對水箱斜靠在長方體的情景中進行討論，尋找最佳斜靠角度，使得長方體總體的形心和重心距離最短，最后修改坐標系，相應推導出重心表達式的修正結果和新舊坐標轉換公式，并理論分析原因。

【關鍵詞】坐標系模型;不同形狀;長方體

引言

給定一個長方體，有兩個固定位置水箱，將長方體以最短邊為軸轉動，探究在此過程中的長方體（含水箱）形心和重心之間距離的變化。討論當兩個水箱中裝水比例相同時，該比例大小對長方體形心重心之間距離的影響，若水箱可“斜放”，分別找出水箱共同的斜放角度和水箱單獨的斜放角度，使長方體形心和重心距離最小。

1、問題分析

首先建立坐標系，從而將兩者坐標求出來，進而表示出距離，其次建立坐標系之后，需要計算出兩個水箱重心的坐標，因此需要對不同情況下水的形狀進行討論，并推導出不同情況下水重心的坐標。最后分析水箱斜放角度對長方體重心形心之間距離的影響，分別通過循環迭代的過程找到最小重心形心距離對應的兩個相同參數值和兩個自由參數值即可。

2、模型的建立與求解

對于水面來說，如果水面不達到水平，那么肯定有超過水平面的地方，此時勢能必然不是最小，高出水平的那一部分則必然會往低處流動，最終達到水平的形態，水箱中的水面始終保持水平。如下所示：

設為水箱中裝水的比例，水的體積是固定的，就可以定量計算出旋轉過程中水面的左右邊緣與水箱的位置情況。旋轉過程相當于填補上，由面積相等，有公式：

得到：

用下標和分別表示左下角和右上角水箱。[3]先單獨研究左下角的水箱，并以圖1所示情況引入分類標準，在圖1中，，，旋轉角度為。顯然旋轉過程中，并不只有這一種情況，水面未必和水箱的上表面和右側面接觸，還有可能和左側面先接觸。這些情況是由和共同決定的，和表示水箱上下底面和水接觸部分的長度，令及求出兩個臨界情況：

同樣可得到右上角水箱參數：

其中，A是長方體和水箱的所有頂點坐標的集合，k為集合A中的元素個數，最終計算結果為。左右梯形相當于短低一側三角形補充到長底一側，所以長短底邊長度分別為和，高為。

根據梯形重心計算公式：

其中為短邊長度，為長邊長度，為高，直接代入梯形重心公式，得到重心坐標為：

對于右上方水箱，當坐標原點同樣選擇在水箱左下角時，重心計算公式不變，之后加上根據兩個水箱左下角之間的坐標差即可得到右上方水箱相對于左下角旋轉軸的坐標，[2]兩水箱相對位置不變，坐標差恒為.故

忽略水箱外皮以及長方體的重量，所以重心為：

重心計算公式的參數包括水的比例、水箱與地面的夾角、水箱的高和長。

從圖中可以看出，當水箱和長方體有了一定停靠角度時，水箱和地面的夾角從原來的變成了。因此在新的坐標系中，重心計算公式中的參數，水箱和地面的夾角發生了變化，應將原來的參數修改為，其余均不變，這樣得到的即是水箱重心相對于水箱左下角邊的旋轉軸的坐標。對于右上角水箱，同樣需要加上和左下角水箱的坐標差，但由于斜靠會改變相對位置，因此公式也需要修正，根據幾何關系也不難得出右上角水箱的重心坐標公式為：

由于停靠角度不為0，所以需要加上水箱左下角和長方體左下角之間的坐標差，從而將原坐標系的重心坐標轉換到新坐標系中。形心由于和長方體的幾何關系并未發生變化，因此形心坐標不發生改變，通過最終的重心和形心的距離表達式為：

其中、分別是坐標系下的兩個水箱重心的橫縱坐標差，對于不同的角度取值，水的形狀不同，對應的、的表達式也不盡相同，代入不同的公式，最終結果是分段函數形式。設置和均從變化，計算不同停靠角度時，旋轉角度從0到變化時，重心形心變化曲線。利用python在循環過程中可從其中找到其中具有最小距離的點時的值，結果為°，約為0.

設置、和均從變化，循環計算不同角度時重心形心之間的距離，其中的最小距離，也是時距離最小。

結論

本研究首先定量計算出旋轉過程中水面的左右邊緣與水箱的位置情況，其次以長方體長和高建立坐標系，由于不涉及軸旋轉，因此只考慮二維坐標系，最后重心計算公式中的參數，將原來的參數修改，其余均不變，計算出不同角度時重心形心之間的距離。

參考文獻：

[1]田大平，汪敏. 兩種特殊坐標系下Laplace算子的推導[J]. 江漢大學學報（自然科版），2021，49（02）：29-34.

[2]高志強，李寶筏. 增量式旋轉軸定向的應用實例[J]. 機械工程師，2007（08）：133.

[3]周瑞敏，王瑞堯，司文杰，李志軍. 帶有改進自適應動量因子的四容水箱DRNN控制系統設計[J]. 工業控制計算機，2021，34（01）：19-22.

（作者單位：大連理工大學中白學院工程力學系）