探究傳送帶模型中兩者共速后保持相對靜止的條件

在高中物理的連接體問題中,同學們見多了當相互連接的兩個物體達到共速后保持相對靜止一起運動的情況,往往會形成思維定式,認為連接體中二者共速后一定保持相對靜止一起運動。然而在實際問題中并不總是如此。那么當連接體內的兩個物體共速后保持相對靜止的條件是什么呢? 下面以傳送帶模型為例探究這個問題。

圖1

例題如圖1 所示,傳送帶水平放置,傳送帶的長度L=16m,以v=10m/s的速度沿順時針方向轉動。將質量m=1kg的物塊輕輕地放在傳送帶左端,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5,取g=10m/s2。求物塊在傳送帶上運動的時間。(假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

解析：物塊受到傳送帶對它的向右的滑動摩擦力產生加速度a=μg=5m/s2,當物塊與傳送帶共速時,物塊的位移10m＜L,所用時間之后物塊將做何種運動取決于其受力情況,需要分三種情況進行討論。①若物塊繼續受到向右的摩擦力,則物塊將繼續做加速運動,此后物塊的速度必將大于傳送帶的速度,根據摩擦力與相對運動方向的關系可知,物塊受到的摩擦力向左,這與假設相矛盾,因此物塊不可能繼續受到向右的摩擦力;②若物塊受到向左的摩擦力,則物塊的速度將減小,且小于傳送帶的速度,同理可知,物塊受到的摩擦力向右,這與假設也矛盾,因此物塊不可能受到像左的摩擦力;③若物塊不受摩擦力,則物塊在水平方向上受力為零,將以與傳送帶一樣的速度做勻速直線運動,符合實際情況。因此當物塊與傳送帶達到共速后,兩者保持相對靜止一起做勻速運動,所用的時間t2=總時間t=t1+t2=2.6s。

變式1：保持例題中的其他條件不變,將傳送帶與水平方向成θ=30°角傾斜放置,且將物塊與傳送帶間的動摩擦因數改為μ=求物塊在傳送帶上運動的時間。

解析：物塊沿傳送帶斜向下滑動時的加速度a=gsinθ+μgcosθ=12.5m/s2,當物塊加速到與傳送帶共速時,物塊的位移x=4m＜L,所用時間t1=0.8s。物塊和傳送帶共速后,假設二者保持相對靜止,則物塊需要受到傳送帶對它的斜向上的靜摩擦力f=mgsinθ=5N,而傳送帶能提供給物塊的最大靜摩擦力fmax=μmgcosθ=7.5N＞f,假設成立。之后物塊做勻速運動,所用時間t2=1.2s。總時間t=t1+t2=2s。

變式2：保持例題中的其他條件不變,只將傳送帶與水平方向成α=37°角傾斜放置。求物塊在傳送帶上運動的時間。

解析：物塊沿傳送帶斜向下滑動時的加速度a=gsinα+μgcosα=10m/s2,當物塊加速到與傳送帶共速時,物塊的位移x=5m＜L,所用時間t1=1s。物塊和傳送帶共速后,假設二者保持相對靜止,則物塊需要受到傳送帶對它的斜向上的靜摩擦力f=mgsinα=6N,而傳送帶能提供給物塊的最大靜摩擦力fmax=μmgcosθ=4N＜f,即傳送帶無法給物塊提供那么大的靜摩擦力來讓二者保持相對靜止,因此物塊將繼續加速下滑,加速度a'=gsinα-μgcosα=2m/s2。在之后的加速運動過程中,物塊的位移滿足解得t2=1s。總時間t=t1+t2=2s。

小結：如果傳送帶水平放置,則二者共速后一定能保持相對靜止;當傳送帶傾斜放置時,二者共速后是否可以保持靜止取決于傳送帶能夠提供的最大靜摩擦力與兩者相對靜止時物塊需要受到的靜摩擦力的大小關系。